tranformaciones lineales

TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES

Comenzamos definiendo una tranformación lineal. Ejemplos típicos son la derivada y la integral, al igual que las proyecciones. Definimos el kernel y rango deuna transformación lineal T : V ® W y los denotamos por N(T) y R(T) respectivamente. Es un ejercicio verificar que N(T) £ V y R(T) £ W. Definimos nulidad(T) = dim(N(T)) y rango(T) = dim(R(T)).TEOREMA 2.1 Si T : V ® W es una transformación lineal, entonces V es dimensionalmente finito si y sólo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos, y en este caso,

dim(V) = nulidad(T) + rango(T).Demostración

Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos

L(V, W) = {T : V ® W | T es una transformación lineal}.

Si T, U Î L(V, W) y a Î F, definimos aT + U : V ® W como(aT + U)(x) = aT(x) + U(x) para toda x Î F. Es un ejercicio verificar que aT + U es una transformación lineal y que L(V, W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicación por escalares, es unespacio vectorial sobre F.

Definimos el que una función fuera inyectiva, sobre y biyectiva. Es un ejercicio demostrar que para una transformación lineal T : V ® W, las siguientes condiciones sonequivalentes:

T es inyectiva
N(T) = {0} (es decir, nulidad(T) = 0)
Para todo S ê V, S es linealmente independiente si y sólo si T(S) ê W es linealmente independiente

También se dejacomo ejercicio el verificar que si V y W son dos espacios vectoriales con la misma dimensión (finita) y T : V ® W es una transformación lineal, entonces T es inyectiva o sobre si y sólo si esbiyectiva.

Una transformación lineal es una función que preserva la estructura algebraica de espacio vectorial, por lo que no toda función entre espacios vectoriales es una transformación lineal. De hecho,es sencillo encontrar funciones inyectivas, sobre, y biyectivas que no son transformaciones lineales. Esto motiva las definiciones de monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo.

LEMA 2.2 Sean V y W...