TRANFORMACIONES LINEALES



TRANFORMACIONES LINEALES
Sean V y W espacios vectoriales y T una función cuyo dominio es V y cuyo codominio es W (T:V→W) se dice que T es una transformación lineal si:
Para todo X,Y elementos de V
T(X+Y)=T(X)+T(Y)
Para todo X E V y α E R
T(α x)=α t(x)
Una transformación lineal es una función entre dos espacios vectoriales (que persevera las operaciones de espacio vectorial) es decir la imagende la suma de dos vectores del dominio es la suma de las imágenes de cada uno de los vectores y la imagen del producto de un vector del dominio por un escalar es el producto de la imagen del vector por el escalar.




T Preserva la suma



OBSERVACIONES
1. Toda transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se pueden representar mediante una matriz.
2. Se escribe T:V→W paraindicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial (a) real W; esto es: T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.
TEOREMA
Toda transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz
EJEMPLOS
1. La función F:R→R tal que : F(X)=mx rectas que pasan por el origen y m: pendiente
SeanX1, X2 E R, α escalar E R
T: R→R
T(X)=mX, Verificar que T es una transformación lineal
T(X1+X2)= m(X1+X2)
=m X1 + m X2
=T(X1)+T(X2)
T(α X1)= m(α X1)
=α (m X1)
= α T (X1)
Si es una transformación lineal ya que satisfice la definición.
2. T:R→R tal que T(X)= mx+b donde m y b son reales y b≠0.
Demostrar que T no es transformación lineal.T(X1+X2)= m(X1+X2)+b
=m X1+ m X2+b
=(m X1+b)+m X2
Otro teorema
T(X+Y)= m(X+Y)+b
=mx+my+b
T(X)+T(Y)= (mx+b)+(my+b)
=mx+my+2b
Según la definición de transformación lineal
T(X+Y)=T(X)+T(Y)
Pero en este caso
T(X+Y)≠T(X)+T(Y)
mx+my+b≠mx+my+2b
Por tanto T no es transformación lineal y las 2 rectas anteriores no pasan por el origen ya que b ≠ 0 ylas únicas rectas que representan transformaciones lineales son las rectas que pasan por el origen.
3. Transformación trivial o nula
T:Rn→Rn, T(X)=0
T(X1+X2)= 0(X1+X2)= 0X1+0X2
=0+0=0
T(α X1)= 0(α X1)= 0(α X1)= α(0X1)= α 0
=0
Sean V y W espacios vectoriales y T:V→W una transformacion tal que T(V)=0 para tpdp V que pertenece a V entonces
T(V1+V2)=0 = 0+0 = T(V1)+T(V2)
T (α v)= 0 =α 0 = α T(V)
4. Sea A una matriz mxn y T:Rn→Rm una función tal que T(x)=Ax
Ver si T es lineal.
T(X+Y)= A(X+Y)
=AX+AY
=T(X)+T(Y)
T(α X)=A(α X)
=α A(X)
=α T(X)
De a y b concluimos que T es una transformacion lineal.
A la función Fa: Rn→Rm tal que Fa(X)=Ax con A una matriz mxn se le llama FUNCION INDUCIDA POR A5. SEA A= 3 2 -1
-1 0 -2
T:R3→R2, tal que
T X = 3 2 -1 X ES LA FUNCION INCLUIDA POR A
Y -1 0 -2 Y
Z Z

MATRIZ INCLUIDA
= 3X 2Y -Z ES UNA TRANSFORMACION LINEAL
-X-2Z

VECTOR DE LA TRANFORMACION

6. Sea A= 1 -3 2 , T:R2→R2
1 0 -1 mxn 2x3
T X 1 -3 2 X
Y = 1 0 -1 Y FUNCION INCLUIDA POR A
Z Z
MATRIZ INCLUIDA
= X -3Y 2Z TRANSFORMACION LINEALX -Z

VECTOR TRANSFORMACION
Con un vector en particular en R3: 1,2,3
T 1 = X 3Y 2Z 1
2 X -Z 2
3 3

= 1 3(2) +2(3) = 1
1 -3 = -2


UNA TRANSFORMACION LINEAL DE R2 EN R3
7. Fa: Rn→Rm
Sea T:R2→R3 definida...