Transferencia de calor

PRIMER TRABAJO TRANSFERENCIA DE CALOR
1. Determinar el perfil de temperatura de una aleta y su eficiencia si la
temperatura de la base de la aleta es de 600 °C y disipa calor a un
ambiente de 20 °C. La conductividad térmica del material y el
coeficiente de transferencia de calor por convección varía con la
temperatura como:

h =0,29( T − T∞ )0,25
T(°K)
k (vat/ m
°K)

BTU
h ft2 °F200
10,3

400
13,5

600
17

1000
24

• La emisividad promedio de la superficie de la aleta es 0,1
• Seleccionar unas dimensiones típicas de la aleta para hacer los cálculos.
Resolver el problema mediante el método Shooting y calcular el calor
total transferido por la aleta.
• Trabajar con 10 incrementos y después con 20, 40, 80 y así sucesivamente
hasta que:

∣T perfil actual−T perfil anterior∣≤ 0,01

w

L

Δ
s

Δ
y

x
x+Δx

Δ
x

Para poder hacer el desarrollo de la ecuación de la aleta, escogemos un
volumen de control entre x y Δx (mostrado en el segundo diagrama de arriba).
Se escoge un volumen de control lo suficientemente pequeño para que la
longitud Δs se considere recto, y poder hallarse:

Ecuación de la aleta:

x 2
y = t (1− )
LHallamos expresión para Δs en el volumen de control:

∆ s = √ ∆ x2 + ∆ y 2

∆y 2
)
∆x
∆ x2¿
∆ s =√ ¿

1+(

∆y 2
)
∆x
¿
∆ s= ∆ x √ ¿
1+(

∆ A para el volumen de control:
∆ A=2w ∙ ∆ s
∆y 2
1+(
)
∆x
¿
∆ A=2w ∙ ∆ x √ ¿

Y hallamos el

Para poder hallar la ecuación de la aleta, hay que realizar un balance global de
energía sobre la aleta:

q ∨¿conductivo x +∆ x + qconvectivo + q radiación
q ∨¿ conductivo x=¿
¿

∆ q conductivo−q convectivo− qradiación =0
∆ q cond − h ∆ A ( T( x) −T ∞)−εσ T4x) ∆ A=0
(

∆y 2
)
∆x
¿
( T( x )− T∞ )
¿
∆y 2
1+(
)
∆x
¿
¿
¿
h 2w ∙ ∆ x √ ¿
∆ q cond
−¿
∆x
1+(

Dividiendo por

∆x :

Aplicamos el límite cuando ∆ x → 0 ya que el balance esta para el volumen
de control, y desarrollando obtenemos:

1+( y ´ )2¿
1+( y ´ )2
¿
¿
¿

d q cond
−h 2w ∙ √ ¿
dx
y ´ ¿2
dy 2
¿ =¿
Al aplicar el límite observamos que:
dx
∆y 2
lim (
) =¿
∆ x →0 ∆ x
2

1+( y ´ )
¿
¿

d q cond
−2w √¿
dx
1+( y ´ )2
¿
¿
d
dT
(−k Acond
)−2w √¿
dx
dx

2

1+( y ´ )
¿
¿
d
dT
( k 2yw
)−2w √ ¿
dx
dx
1+ ( y ´ )2
¿
¿
d
dT
2w
ky
−2w √¿
dx
dx

(

)

1+( y ´ )2
¿
¿
d
dT
(k y)− √ ¿
dx
dx
2

[(

1+( y ´ )
¿
¿
dk dT dT
dy dT
d2 T
y
+k
+ ky 2 −√ ¿
dT dx dx
dx dx
dx

]

)

Y la ecuación para la aleta parabólica con la conductividad térmica y el
coeficiente de película variando con la temperatura queda de la siguiente
manera:

1+( y ´ )2
¿
¿
2
dk dT
dy dT
d2 T
y
+k
+ ky
− √¿
dT dx
dx dx
d x2

[ ( )

]

Para hallar lavariación de la conductividad térmica con respecto a la
temperatura.

Asumimos que es una línea recta, y bajo los puntos dados, mediante la ayuda
del software de Microsoft Excel®, graficamos y obtenemos la recta para estos
puntos. Por lo tanto obtenemos:

k ( T )=0,0179 T + 20,841
dk
=0,0179
dT

Por otro lado, tenemos la ecuación de la aleta parabólica y(x), y podemos hallar
la derivada deesta función:

(

y ( x )= t 1−

x
L

2

)

dy
x −1 −2t
x
=2t 1−
=
1−
dx
L L
L
L

( )( )

(

)

APLICACIÓN DEL MÉTODO SHOOTING SIMPLE:
De acuerdo a la metodología seguida para este proceso, se realizan los
siguientes pasos:
1. Planteamiento del problema: Escribiendo la ecuación diferencial del
problema con sus condiciones de frontera:

dy 2
dx
¿
¿
2
dk dTdy dT
d2 T
y
+k
+ ky
− √¿
dT dx
dx dx
d x2
1+

( )

[ ( )

]

Condiciones de frontera:
- En x=0  T=600 °C
transferencia)

-

En

x=L

T=0

°C

(no

hay

Consideramos que en la punta de la aleta no hay transferencia de calor, pues
el área de transferencia es despreciable.
2. Transformación de la ecuación diferencial de segundo orden en dos
ecuaciones d...