Transferencia De Calor

Conducción bidireccional de calor
Prof. Alejandro Reyes Existen situaciones de interés en las cuales la conducción de calor en estado estacionario se produce en más de una dirección, tal como se muestra en la figura adjunta. En estos casos, T = T(x,y,z). En esta situación, a partir del balance global de energía, para conducción bidimensional se tiene:

∇T
2

∂ 2T ∂ 2T =0 = 2 + 2 ∂x ∂y(Ec. 1)

Para resolver esta ecuación existen métodos analíticos, numéricos (diferencias finitas) y métodos gráficos (factor de forma S).

a) Método analítico Para resolver analíticamente la ecuación 1, en primer lugar ésta se debe re-escribir en función del parámetro adimensional θ:

T − T1 ; θ= T2 − T1

∂ 2θ ∂ 2θ 0= 2 + 2 ∂x ∂y

(Ec. 2)

Para resolver esta ecuación se necesitan 4condiciones de borde. Para el caso de una sección transversal de una barra de ancho W y altura L, se tiene:

θ (0, y ) = 0 θ ( w, y ) = 0 θ ( x,0) = 0 θ ( x, L) = 1

Dado que 3 de las condiciones de borde son homogéneas, es posible utilizar técnicas matemáticas para resolver analíticamente esta ecuación. El método de separación de variables considera que la solución puede expresarse como el productode dos funciones X(x) e Y(y), cada una de ellas dependiendo de una variable. Es decir: (Ec. 3) Derivando Ec. 3 con respecto a x, luego con respecto a y, para entonces reemplazar en Ec.2, se tiene:
− 1 d 2 X ( x) 1 d 2Y ( y ) = X ( x ) dx 2 Y ( y ) dy 2

θ ( x, y ) = X ( x ) ⋅ Y ( y )

(Ec. 4)

En Ec. 4, el lado izquierdo es función solo de x, mientras que el lado derecho solo de y, y dadoque ambas son iguales, necesariamente ambas son iguales a una constante λ. Es decir:
1 d 2 X ( x) 1 d 2Y ( y ) − = =λ X ( x ) dx 2 Y ( y ) dy 2

( Ec. 5)

A partir de Ec. 5, es posible obtener 2 ecuaciones diferenciales ordinarias (Problemas auxiliares de Sturm-Liuville): d2X + λX = 0 ; dx 2 X ( 0) = X ( w ) = 0 (Ec. 6)

En principio la constante λ puede ser positiva, negativa o igual acero. Si λ 0. En este caso, la solución general de la ecuación diferencial es:

X ( x ) = C1 cos ( λ ⋅ x ) +C 2 sen( λ ⋅ x )

(Ec. 8)

Usando las condiciones de borde se obtiene C1 = 0. Como C 2 sen( λ ⋅ x ) = 0 , se tiene:

λ=

n2 π 2 w2

; n = 1,2,3......

Por lo tanto, se tiene un conjunto infinito de valores discretos de λ, los que se conocen como valores característicos delproblema y las funciones dadas por la Ec. 9 se denominan funciones características:

⎛ n ⋅π ⎞ X n ( x ) = C 2 sen ⎜ x ⎟ ; n = 1,2,3,.... ⎝ w ⎠ La segunda ecuación diferencial ordinaria es:
d 2Y − λ ⋅ Y = 0 ; Y ( 0) = 0 dy 2 Cuyas soluciones son:

(Ec. 9)

(Ec. 10)

Yn ( y ) = C3 cosh (

n ⋅π n ⋅π y ) + C4 senh ( y ) ; n = 1,2,3.... w w

(Ec. 11)

Dado que Y(0) = 0, se obtiene que C3 = 0,entonces:

Yn ( y ) = C4 senh (

n ⋅π y) w

(Ec. 12)

Las constantes C2 y C4 se reemplazaran por C5 =C2 ٠C4, al realizar el producto: θ =X ٠Y:

n ⋅π n ⋅π x ) ⋅ senh ( y) (Ec. 13) w w Pero, esta ecuación no satisface la condición de borde no-homogenea: θ ( x, L) = 1 . Sin embargo, ahora se puede representar la solución adimensional θ como una serie infinita de funciones θn, puesto que lasuma de soluciones es también una solución de acuerdo con el Principio de superposición. Es decir:

θ n ( x, y ) = C5 sen (

θ ( x, y ) = ∑ Cn sen (
n =1

∞

n ⋅π n ⋅π x ) ⋅ senh ( y) w w

(Ec. 14)

Los coeficientes Cn se pueden determinar usando la condición de borde θ (x, L)=1:

1 = f ( x ) = ∑ Cn sen (
n =1

∞

nπ nπ x ) ⋅ senh ( L) w w nπ L ) w

(Ec. 15)

Definiendo bncomo:

bn = Cn senh (

(Ec. 16)

Ahora se debe determinar b1, b2, …, de forma tal que:

1 = f ( x ) = ∑ bn ⋅ sen (
n =1

∞

nπ x ) w

(Ec. 17)

Al aplicar las series de Fourier puede demostrarse que:
2 nπ x bn = ∫ (1) ⋅ sen ( )d x w0 w
w

(Ec. 18)

Integrando:

bn =

2 ( − cos nπ nπ

+ 1)

2 [( −1) n +1 + 1] bn = ; n = 1,2,3,..... π n Cn = 2 [( −1) n +1 + 1] n π...