Transformacion Lineal

Matriz asociada a una transformación lineal
Según la teoría de Brevis-Devaud, una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.
Dada T: V → W, con B = {v1,v2, v3, ..., vn} y C = {w1, w2, w3, ..., wp} bases de V y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1 en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegaral transformado de v1.
T(v1) = a1.w1 + a2.w2 + ... + ap.wp
Entonces:
coordC(v1) = (a1, a2,..., ap)
Y la matriz asociada a T, en las bases B y C, es la matriz res/sub>(v2), ..., coordC(vn))
Rango(álgebra lineal)
En álgebra lineal, el rango de una matriz es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. Si el rango fila y la columna son iguales, estenúmero es llamado simplemente rango de A. Comúnmente se expresa como rg(A).
El número de columnas independientes de una matriz m por n A es igual a la dimensión del espacio columna de A. También ladimensión del espacio fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, mayor o igual que uno y menor o igual que el mínimo entre m y n.
[editar]Rango de una transformación lineal
El rango es unapropiedad no sólo de las matrices sino extensible a las aplicaciones lineales de las cuales las matrices son una representación fijada la base. Definamos en primer lugar el concepto de rango de unaaplicación lineal de forma genérica. Dada aplicación o transformación lineal:

Se define el rango simplemente como la dimensión del conjunto imagen de la aplicación:

Una propiedad muy importantedel rango así definido y el rango de matrices definido anteriormente, es que ambos coinciden. Es decir, dada una base arbitraria la aplicación lineal se puede representar mediante esa base en forma dematriz resultando el rango de esa matriz idéntico al rango de la apliación lineal que representa.
Para establecer más claramente la relación entre el rango de una aplicación lineal y una matriz...