Transformacion lineal

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Transformaciones Lineales
15 de Mayo 2014.

(1) Utilizando la definici´n de una transformaci´n lineal T : E → F de una espao
o
cio vectorial E sobre el espacio vectorial F muestre lassiguientes propiedades:

(a) T (0) = 0.
(b) Para todo v ∈ E, T (−v) = −T (v).
(c) La imagen de T , Im(T ) = {w ∈ F : existe v ∈ Etal que w = T (v)} es
un subespacio vectorial de F .
(d) Muestre quedim(Im(T )) es menor que Dim(E).
(e) El n´cleo de T , Ker(T ) = {v ∈ E : T (v) = 0} es un subespacio vectorial
u
de E.
(f) Muestre que dim(Ker(T )) es menor que Dim(E).
(g) Muestre que lacomposici´n de aplicaciones lineales es lineal.
o
(h) Muestre que la suma de aplicaciones lineales es lineal.
(2) ¿Cu´les de las siguientes funciones son transformaciones lineales?
a
(a) T : R2 −→ R , T(x, y) = 5.
(b) T : R3 −→ R 3 , T (x, y, z) = (x + 2, y − z, 5z).
(c) T : P2 [R] −→ P1 [R] , T (ax2 + bx + c) = (2a − c)x + (a + b + c).
[
(d) T : M2 (R) −→ P2 [R] , T

a b
c d

1

]
= ax2 +bx + c.

2

(3) Determine cuales de las siguientes aplicaciones son transformaciones lineales:
(a) T : R2 → R dada por T (x, y) = x + y + 1.
(b) T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x + y, 0).(c) T : Rn → Rm dada por T x = Axt , donde A es una matriz de m filas y
n columnas y xt es el vector x visto como vector columna.
(d) La derivaci´n el espacio vectorial P [X] de los polinomios en lavariable
o
x.
(e) T : R3 → R2 dada por T (x, y, z) = (x + y + z, xz).

(4) Muestre que las siguientes funciones, no son transformaciones lineales. Justifique su respuesta.
(a) T : R2 → R2 , T (x,y) = (x, y − 1) .
(b) T : P2 [R] → R, T (a0 + a1 x + a2 x2 ) = ao a1 a2 .
(c) T : M2×2 (R) → R, T (A) = det (A) .
(d) T : M2×2 (R) → M2×2 (R), T (A) = A2 .
(e) Sea A ∈ M2×2 (R) , defina T : M2×2 (R)→ M2×2 (R) , T (X) = XAX.
(5) Sea T : M2×2 (R) → R, definida por T (A) = traza (A). Muestre que es
lineal. Determine bases y dimensi´n para Im (T ) y ker (T ).
o
(6) Sea T : R2 → R3 una...