transformacion lineal

Comenzamos definiendo una transformación lineal. Ejemplos típicos son la derivada y la integral, al igual que las proyecciones. Definimos el kernel y rango de una transformación lineal T : V  W y los denotamos por N(T) y R(T) respectivamente. Es un ejercicio verificar que N(T)  V y R(T)  W. Definimos nulidad(T) = dim(N(T)) y rango(T) = dim(R(T)).
Si T : V  W es una transformación lineal,entonces V es dimensionalmente finito si y sólo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos, y en este caso,
dim(V) = nulidad(T) + rango(T).
Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos
L(V, W) = {T : V  W | T es una transformación lineal}.
Si T, U  L(V, W) y a  F, definimos aT + U : V  W como (aT + U)(x) = aT(x) + U(x) para toda x  F. Es un ejercicio verificar que aT + Ues una transformación lineal y que L(V, W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicación por escalares, es un espacio vectorial sobre F.
Definimos el que una función fuera inyectiva, sobre y biyectiva. Es un ejercicio demostrar que para una transformación lineal T : V  W, las siguientes condiciones son equivalentes:
• T es inyectiva
• N(T) = {0} (es decir, nulidad(T) = 0)
• Paratodo S  V, S es linealmente independiente si y sólo si T(S)  W es linealmente independiente
También se deja como ejercicio el verificar que si V y W son dos espacios vectoriales con la misma dimensión (finita) y T : V  W es una transformación lineal, entonces T es inyectiva o sobre si y sólo si es biyectiva.
Una transformación lineal es una función que preserva la estructura algebraica deespacio vectorial, por lo que no toda función entre espacios vectoriales es una transformación lineal. De hecho, es sencillo encontrar funciones inyectivas, sobre, y biyectivas que no son transformaciones lineales. Esto motiva las definiciones de monomorfismo, epimorfismo eisomorfismo.
Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Supongamos que V es dimensionalmente finito y que  = {x1,..., xn} es una base de V. Entonces para todo {y1, ..., yn}  W, existe una única transformación lineal T : V  W tal que T(xi) = yi para toda i = 1, ..., n.
En la categoría de los espacios vectoriales dimensionalmente finitos, la dimensión es un invariante completo de isomorfismo. Es decir, para cualesquiera dos espacios vectoriales dimensionalmente finitos V y W sobre un campo F, existe unisomorfismo entre V y W si y sólo si dim(V) = dim(W).
Sea V un espacio vectorial dimensionalmente finito sobre un campo F y sea  = (x1, ..., xm) una base ordenada de V. Para cada x  V, existen escalares únicos a1, ..., am  F tales que x = a1x1 + ... + amxm. Definimos al vector coordenado de x relativo a  como
[ x ] = ( a1
:
am
),
Es fácil ver que el mapeo x | [ x ] constituye un isomorfismo : V  Mn x 1(F).
Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F,  = {x1, ..., xm} una base ordenada de V y  = {y1, ..., xn} una base ordenada de W. Para cada T L(V, W), definimos la matriz asociada a T con respecto a las bases ordenadas  y  como
[T] 

= ( [T(x1)] ... [T(xm)] ).
Por otro lado, dada una matriz A  Mn x m(F), la función LA : Fm  Fndefinida por LA(x) = Ax, es una transformación lineal (ejercicio).
Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F,  = {x1, ..., xm} una base ordenada de V y  = {y1, ..., yn} una base ordenada de W. Entonces el mapeo T | [T] constituye un isomorfismo  : L(V, W)  Mn x m(F). Más aún, para toda A  Mn x m(F), se tiene que -1(A)  L(V, W) es tal que [-1(A)] = A.Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Si T  L(V, W), entonces existe una matriz asociada a T por cada par de bases ordenadas  y  de V y W respectivamente. El siguiente teorema (cambio de coordenadas) establece la relación entre estas matrices.
Sean V y W dos espacios vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F. Si , ' son dos bases ordenadas de V y  ' son dos...