transformacion




Transformaciones Lineales


Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM

16 de abril de 2009



´Indice

21.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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21.2. Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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21.3. Transformaci´on Lineal . . . . . . . . . . . .
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21.4. Geometr´ıa de las transformaciones lineales .
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21.5. Linealidad en una condici´on . . . .. . . . .
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21.6. Hechos que cumple una transormacio´n lineal

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21.7. Conceptos relativos a funciones . . . . . . .
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921.8. Im´agenes de espacios generados . . . . . . .
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21.1. Introducci´on

En esta lectura se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicacio´n por escalares.21.2. Idea

En los cursos b´asicos relativos a ecuaciones vimos que la solucio´n a la ecuaci´on

f (x) = 0

podr´ıa entenderse como los puntos donde la gra´fica de la funcio´n f (x) corta el eje de las x’s:



1



−1 1 2
−1

−2

esta forma de ver a una ecuaci´on permite entonces resolver ecuaciones de la forma:

f (x) = a

en este caso lo que sebusca son los valores de x de aquellos puntos donde la gra´fica de la funcio´n f (x) corta la l´ınea horizontal y = a:


1



−1 1 2
−1

−2

Esta idea de corte de la gra´fica de f (x) con la recta y = a da pie a m´etodos gra´ficos de solucio´n de ecuaciones y tambi´en permite obtener conclusiones cualitativas a ciertas ecuaciones. Por ejemplo, se deducefa´cilmente que 3 sen(20 x) cos(x) = 1 tiene infinitas soluciones, mientras que 3 sen(20 x) cos(x) = 3.5 no tiene solucio´n:


3
2
1

−1 −1 1 2
−2
−3

En el caso anterior, 3 sen(20 x) cos(x) = 1 tiene solucio´n debido a que 1 est´a en el rango de la funcio´n; mientras que 3 sen(20 x) cos(x) = 3.5 no tiene soluci´on porque 3.5 no lo est´a. Elrango de la funcio´n est´a marcado en el eje y como un segmento de l´ınea magenta. En general, el siguiente resultado se tiene:
Teorema

La ecuaci´on

f (x) = a

tiene soluci´on si y s´olo si a est´a en el rango de f (x).

Nosotros usaremos el concepto de la funcio´n para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La restricci´on que haremos sera´ sobre el tipo defunciones: s´olo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones sera´n llamadas funciones lineales. Primeramente las definiremos, veremos algunas propiedades generales y despu´es veremos c´omo se aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones.



21.3. Transformaci´on Lineal

Definicio´n 21.1


Sean V y W dosespacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformacio´n lineal o mapeo lineal de V a W es una funcio´n T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:

T (u + v) = T (u) + T (v)
T (c u) = c T (u)

Ejemplo 21.1
Demuestre que la tranformaci´on T : R2 →R2 definida por

x
T y
x + 3 y
= x + 2 y

es lineal.
Solucio´n Sean...