Transformaciones isométricas

Cuadrados mágicos

El cuadrado mágico más pequeño
La composición de cuadrados mágicos es un entretenimiento matemático muy antiguo y aún hoy muy extendido. EL problema consiste en buscar unadisposición tal de los números sucesivos (empezando por el 1), en las casillas de un cuadrado cuadriculado, que las sumas de los números en todas las filas y columnas y siguiendo las dos diagonales delcuadrado sean iguales.
El cuadrado mágico más pequeño es el de 9 casillas; es fácil convencerse, haciendo la prueba, de que es imposible la existencia de un cuadrado mágico de cuatro casillas. He aquíuna muestra de cuadrado mágico de 9 casillas:

Figura 253
Si sumamos en este cuadrado los números 4 + 3 + 8, ó 2 + 7 + 6, ó 3 + 5 + 7, ó 4 + 5 + 6, o cualquier otra fila, columna o diagonal, entodos los casos obtendremos la misma suma, 15. Este resultado puede preverse antes de componer el propio cuadrado, porque las tres filas del cuadrado, la superior, la de en medio y la inferior, debencontener todos sus 9 números, que en conjunto dan la suma:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.
Por otra parte, esta suma deberá ser igual, evidentemente, al triplo de la suma de una fila. De aquíse deduce que cada fila debe sumar:
45 : 3 = 15.
De un modo semejante se puede determinar a priori la suma de los números de una fila o columna de cualquier cuadrado mágico, cualquiera que sea elnúmero de casillas de que conste. Para esto hay que dividir la suma de todos los números del cuadrado por el número de sus filas.

Rotaciones y reflexiones
Una vez compuesto un cuadrado mágico,es fácil obtener sus variantes, es decir, hallar una serie de nuevos cuadrados mágicos.

Figura 254
Por ejemplo, si se ha compuesto el cuadrado de la fig. 254, haciéndolo girar mentalmente uncuarto de vuelta completa (es decir, 90°), se obtiene otro cuadrado mágico (fig. 255):

Figura 255
Los sucesivos giros, de 180° (media vuelta completa) y de 270° (tres cuartos de vuelta completa),...