Transformaciones lineales - Algebra Lineal

ÁLGEBRA LINEAL

Ricardo Miguel Guzmán Navarro

Universidad de Córdoba
Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías
Departamento de Matemáticas

Cap´
ıtulo 4
Transformaciones lineales
En este cap´
ıtulo introduciremos las transformaciones lineales, que es un tipo especial de funciones entre espacios vectoriales. Mediante estas funciones
podemos decidir si dos espacios vectorialescomparten ciertas propiedades
algebraicas.

4.1.

Transformaciones lineales

Definici´n. Sean V y W espacios vectoriales sobre R. Una transformaci´n
o
o
lineal de V en W es una funci´n de V en W tal que
o
T (cx + y) = cT (x) + T (y)
para todos los vectores de y todo escalar de R.
Ejemplos. Sean V y W espacios vectoriales sobre R. Entonces las siguientes
son transformaciones lineales
T :V −→ V
,
x −→ x
T : V −→ W
.
x −→ 0
Estas transformaciones son llamadas transformaci´n identidad y transo
formaci´n cero, respectivamente. ♦
o

54

4.1. TRANSFORMACIONES LINEALES

55

Ejemplos. Sea A ∈ Rm×n . Entonces
T : Rn −→ Rm
x −→ Ax
es una transformaci´n lineal. ♦
o
Teorema 4.1. Sean V, W espacios vectoriales sobre R y T de V en W una
transformaci´n lineal. Entonces:o
1. T (0) = 0.
2. T (−x) = −T (x).
Demostraci´n. Ejercicio. ♦
o
Definici´n. Si T : U −→ V y S : V −→ W son transformaciones lineales,
o
entonces la composici´n de S con T es la funci´n S ◦T : U −→ W definida
o
o
por
(S ◦ T )(x) = S(T (x)) ∀x ∈ U .
Teorema 4.2. Sean U, V, W espacios vectoriales sobre R y T : U −→ V y
S : V −→ W transformaciones lineales. Entonces S ◦ T : U −→ W es unatransformaci´n lineal.
o
Demostraci´n. Ejercicio. ♦
o
Teorema 4.3. Sean V, W espacios vectoriales sobre R y T de V en W una
transformaci´n lineal. Entonces:
o
1. Im(T ) es un subespacio de W . La dimensi´n de Im(T ) se acostumbra a
o
llamar rango de T (rango (T )).
2. {x ∈ V : T (x) = 0} es un subespacio de V . Este subespacio es llamado
el espacio nulo de T y su dimensi´n se conocecomo la nulidad de T
o
(nulidad (T )).

56

CAP´
ITULO 4. TRANSFORMACIONES LINEALES

Demostraci´n. Ejercicio. ♦
o
Teorema 4.4. Sean V un espacio vectorial de dimensi´n finita sobre R, W
o
un espacio vectorial sobre R, {x1 , ..., xn } una base de V y y1 , ..., yn vectores
de W . Entonces existe una unica transformaci´n lineal T de V en W tal que
´
o
T (xi ) = yi para toda i.Demostraci´n. Ejercicio. ♦
o
Ejemplo. La unica transformaci´n lineal T de R3 en R2 tal que
´
o
 
 
 
1
1
2
3
4
2
, T ( 2 ) =
y T ( 1 ) =
T (  0 ) =
−1
4
2
0
2
0
es

T :  R3  −→
x
 y  −→
z

R2
x+y+z
x − y + 2z

.♦

Teorema 4.5. Sean V un espacio vectorial de dimensi´n finita sobre R, W
o
un espacio vectorial sobre R y T una transformaci´n lineal de Ven W .
o
Entonces
rango (T ) + nulidad (T ) = dim(V ).
Demostraci´n. Ejercicio. ♦
o
Teorema 4.6. Sean V, W un espacios vectoriales sobre R y T una transformaci´n lineal de V en W . Entonces T es sobreyectiva si, y s´lo si, existe
o
o
una base de W contenida en Im(T ).
Demostraci´n. Ejercicio. ♦
o

4.1. TRANSFORMACIONES LINEALES

57

Teorema 4.7. Sean V, W espacios vectorialessobre R y T una transformaci´n lineal de V en W . Entonces T es inyectiva si, y s´lo si, el espacio nulo
o
o
de T es {0}.
Demostraci´n. Ejercicio. ♦
o
Definici´n. Sean V, W espacios vectoriales sobre R y T de V en W una
o
transformaci´n lineal. Entonces T es un isomorfismo si T es biyectiva. En
o
tal caso se dice que V es isomorfo a W o que V y W son isomorfos.
Teorema 4.8. Sean V, W espaciosvectoriales de dimensi´n finita sobre R y
o
T un isomorfismo de V en W . Entomces:
1. Si {x1 , ..., xn } es un conjunto linealmente independiente de V , entonces
{T (x1 ), ..., T (xn )} es un conjunto linealmente independiente de W .
2. Si {x1 , ..., xn } genera a V , entonces {T (x1 ), ..., T (xn )} genera a W .
3. Si {x1 , ..., xn } es una base de V , entonces {T (x1 ), ..., T (xn )} es...