Transformaciones Lineales y Matrices 2x2

Resumen
Geometría Vectorial y Analítica.
Una introducción al Algebra Lineal
Abraham Asmar Charris

Patricia Restrepo de Peláez
Fernando Vargas Hernández

Rosa Franco Arbeláez

Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín.

Capítulo 4. Transformaciones lineales del plano y matrices 2
4.1

2.

Transformaciones del plano

En este capítulo nos interesansólo las funciones del plano en sí mismo, es decir, funciones de R2 en R2 a
las cuales nos referiremos como transformaciones del plano. Dichas transformaciones las denotaremos
mediante letras mayúsculas como P; Q; R; S; T::::
Proyección sobre la recta L.

Sean U un vector no nulo de R2 y L la recta generada por U: Si X es un vector cualquiera de R2 ; el vector
P royU X; el cual está sobre L, lollamaremos también la proyección de X sobre L (Ver …gura).

Denotaremos PU la transformación del plano que asigna a cada vector X de R2 ; su proyección sobre la
recta L. Es decir,
PU : R2 ! R2
X 7! PU (X) = P royU X
La transformación PU la llamaremos proyección sobre la recta L.
Re‡
exión respecto a la recta L.

Sean U un vector no nulo de R2 y L la recta generada por U: Denotaremos SUla transformación del
plano que asigna a cada vector X de R2 la re‡
exión de X respecto a la recta L. Es decir, para cada X de R2 ;
SU (X) es el otro extremo del segmento de recta trazado desde X perpendicularmente a la recta L y cuyo
punto medio es el punto PU (X) : (Ver …gura).

1

De manera que
SU : R2
X

! R2
7! SU (X) = 2PU (X)

X

A la transformación SU la llamaremos re‡exión respecto a la recta L.
Transformación múltiplo escalar.
Sea Dr : R2 ! R2 la transformación que asigna a cada vector X de R2 el vector rX: (Si r = 2, ver …gura).
Dr : R2
X

Si X =

! R2
7! Dr (X) = rX

x
; entonces
y
Dr (X) = rX = r

x
y

=

rx
:
ry

Rotación por el ángulo .
Fijemos un número real ; 2 <
< 2 : Consideremos la transformación R : R2 ! R2 ; la cualllamaremos rotación por el ángulo , de…nida como se indica a continuación: para cada X de R2 ; R (X)
!
es el punto …nal del vector de posición obtenido al rotar el vector OX alrededor del origen un ángulo de
radianes. Convenimos en realizar la rotación en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj
cuando > 0, y en el mismo sentido de dicho movimiento cuando < 0. (Ver …gura).

2R
Si

x0
y0

=R

x
y

=

x cos
ysen
xsen + y cos

x
; la igualdad anterior es equivalente a las ecuaciones:
y
x0 = x cos
ysen
y 0 = xsen + y cos

conocidas como ecuaciones de rotación:
Traslación por el vector U:
Fijemos un vector U de R2 y consideremos la transformación TU ; de…nida por TU (X) = X + U; para
todo X de R2 (ver …gura). Es decir,
T U : R2
X

! R2
7!TU (X) = X + U

La transformación TU se llamará traslación por el vector U ya que para cada X de R2 ; TU (X) es el
!
punto que se obtiene trasladando el punto X en la dirección del vector U (o OU ) una distancia kU k :
x
x0
Si X =
yU=
entonces
y
y0
TU (X) = X + U =
o también si

x0
y0

= TU

x
y

x
x0
+
y
y0

entonces
x0 = x + x0
:
y 0 = y + y0
3

=

x + x0
y+ y0

x
de R2 le asigna como imagen el mismo vector
y
transformación identidad y se denotará I.
La transformación que a cada

x
y

La transformación que a cada

de R2 le asigna como imagen el vector

x
; se llamará la
y

0
; se llamará la transfor0

mación nula y se denotará O:
Obsérvese que D0 = O; D1 = I; R0 = I y To = I:

4.2

Transformaciones lineales y matricesx
ax + by
=
con a; b; c; d constantes reales, es
y
cx + dy
llamada una transformación lineal del plano. La denominación “lineal” tiene que ver con la forma lineal
x
de las expresiones ax + by y cx + dy para las coordenadas del vector T
:
y
Toda transformación T : R2 ! R2 del tipo T

Cada una de las transformaciones PU ; SU ; Dr ; R ; Identidad y Nula, es una transformación lineal...