Matrices Y Transformaciones
Páginas: 7 (1649 palabras)
Publicado: 14 de junio de 2012
Matrices y transformaciones
L a simetría “corre” por nuestras venas. Esta imagen
representa el núcleo central del grupo hemo, el centro
activo de la hemoglobina que oxigena nuestras células.
Fuente: http://www.cienciateca.com/simetria.html
21
Matrices y transformaciones geométricas en el plano
Una transformación en un plano, es una aplicación que hace
corresponder a cada punto P decoordenadas (x,y) del plano,
otro punto P’ de coordenadas (x’, y’) del mismo plano. En
consecuencia, cualquier conjunto de puntos F se puede
transformar en otro conjunto de puntos F’.
Transformaciones usuales
Traslación
v
Mantienen la forma y el
Rotación
tamaño de la figura
(son isometrías o movimientos
Simetría
Axial
Central
rígidos).
Homotecia
Varía eltamaño
de la figura pero
no la forma.
Traslación
v
Geométricamente la traslación T representa el desplazamiento
de un punto o conjunto de puntos según un vector fijo v, no
nulo.
La figura de la mano fue trasladada desde la posición A hasta
la posición B. Observa que ningún punto de la figura inicial
permanece fijo.
Fascículo 21 • Matrices y transformaciones
162
A
B Composición de traslaciones
C
Si al resultado de una traslación se le aplica otra traslación,
se dice que hay una composición de traslaciones.
Traslación T2
según vector v2
Traslación compuesta
T3 = T2 o T1
(o compuesto con)
según vector
v3 = v1 + v2
Traslación T1
según vector v1
B
A
Composición de varias traslaciones
Reja de balcón
A todo punto P de coordenadas(x,y) del plano, se le asocia el vector r=(x,y) y la matriz columna
, de
manera que una traslación T según el vector v = (v1,v2) se puede identificar con una adición de matrices
columnas.
Traslación según el
vector representado por
Transforma el vector
representado por
En el vector
representado
De coordenadas
Operaciones con
matrices
v1
x
x’
x’ = x+v1
x
v2y
y’
y’ = y+v2
y
Al trasladar el triángulo F según el vector v=(6, 4), resulta el
triángulo F’.
Realizemos la suma de matrices columnas asociada a cada
vértice, con la matriz asociada al vector de traslación.
-4
0
+
6
4
=
2
-1
4
1
+
6
4
=
5
-5
5
5
+
6
4
=
+
v1
v2
=
Fascículo 21 • Matrices y transformacionesy+v2
8
F’
6
C
1
4
9
F
2
v
B
163
x+v1
A
-8
-6
-4
-2
0
-1
2
4
6
Rotación
En la vida cotidiana se presentan situaciones como las siguientes:
O
O
O
El abanico abre girando alrededor del
punto O. Las aspas del ventilador y cada
aguja del reloj gira alrededor de un punto
único.
Geométricamente una rotación en el planorepresenta una
transformación o giro de una figura en torno a un punto fijo,
llamado centro de rotación, que puede estar o no dentro de
la figura.
Al rotar la figura F un ángulo θ en sentido antihorario alrededor
del origen de coordenadas O, se obtiene la figura F’.
Observa que hay un único punto fijo O que es el centro de
rotación.
F’
F
B’
A
B
A’
θ
O
Rotación y tecnologíaUna forma de producir electricidad es a partir de la energía proporcionada
por el viento o energía eólica. El dispositivo capaz de realizar esta conversión
se denomina a erogenerador o g enerador eólico , y consiste en un sistema
mecánico de rotación, provisto de aspas a modo de los antiguos molinos de
viento, y de un generador eléctrico con el eje conectado al sistema motriz. De
esta forma elviento, al hacer girar las aspas, hace también girar al generador
eléctrico, que puede ser un alternador. Igual que en el caso de la energía solar,
es necesario disponer de acumuladores para almacenar la energía eléctrica
con la finalidad de ser utilizada en los períodos sin viento.
Rotación
Transforma el vector
En el vector
representado por representado por
Matriz asociada
a la...
L a simetría “corre” por nuestras venas. Esta imagen
representa el núcleo central del grupo hemo, el centro
activo de la hemoglobina que oxigena nuestras células.
Fuente: http://www.cienciateca.com/simetria.html
21
Matrices y transformaciones geométricas en el plano
Una transformación en un plano, es una aplicación que hace
corresponder a cada punto P decoordenadas (x,y) del plano,
otro punto P’ de coordenadas (x’, y’) del mismo plano. En
consecuencia, cualquier conjunto de puntos F se puede
transformar en otro conjunto de puntos F’.
Transformaciones usuales
Traslación
v
Mantienen la forma y el
Rotación
tamaño de la figura
(son isometrías o movimientos
Simetría
Axial
Central
rígidos).
Homotecia
Varía eltamaño
de la figura pero
no la forma.
Traslación
v
Geométricamente la traslación T representa el desplazamiento
de un punto o conjunto de puntos según un vector fijo v, no
nulo.
La figura de la mano fue trasladada desde la posición A hasta
la posición B. Observa que ningún punto de la figura inicial
permanece fijo.
Fascículo 21 • Matrices y transformaciones
162
A
B Composición de traslaciones
C
Si al resultado de una traslación se le aplica otra traslación,
se dice que hay una composición de traslaciones.
Traslación T2
según vector v2
Traslación compuesta
T3 = T2 o T1
(o compuesto con)
según vector
v3 = v1 + v2
Traslación T1
según vector v1
B
A
Composición de varias traslaciones
Reja de balcón
A todo punto P de coordenadas(x,y) del plano, se le asocia el vector r=(x,y) y la matriz columna
, de
manera que una traslación T según el vector v = (v1,v2) se puede identificar con una adición de matrices
columnas.
Traslación según el
vector representado por
Transforma el vector
representado por
En el vector
representado
De coordenadas
Operaciones con
matrices
v1
x
x’
x’ = x+v1
x
v2y
y’
y’ = y+v2
y
Al trasladar el triángulo F según el vector v=(6, 4), resulta el
triángulo F’.
Realizemos la suma de matrices columnas asociada a cada
vértice, con la matriz asociada al vector de traslación.
-4
0
+
6
4
=
2
-1
4
1
+
6
4
=
5
-5
5
5
+
6
4
=
+
v1
v2
=
Fascículo 21 • Matrices y transformacionesy+v2
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F’
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C
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4
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F
2
v
B
163
x+v1
A
-8
-6
-4
-2
0
-1
2
4
6
Rotación
En la vida cotidiana se presentan situaciones como las siguientes:
O
O
O
El abanico abre girando alrededor del
punto O. Las aspas del ventilador y cada
aguja del reloj gira alrededor de un punto
único.
Geométricamente una rotación en el planorepresenta una
transformación o giro de una figura en torno a un punto fijo,
llamado centro de rotación, que puede estar o no dentro de
la figura.
Al rotar la figura F un ángulo θ en sentido antihorario alrededor
del origen de coordenadas O, se obtiene la figura F’.
Observa que hay un único punto fijo O que es el centro de
rotación.
F’
F
B’
A
B
A’
θ
O
Rotación y tecnologíaUna forma de producir electricidad es a partir de la energía proporcionada
por el viento o energía eólica. El dispositivo capaz de realizar esta conversión
se denomina a erogenerador o g enerador eólico , y consiste en un sistema
mecánico de rotación, provisto de aspas a modo de los antiguos molinos de
viento, y de un generador eléctrico con el eje conectado al sistema motriz. De
esta forma elviento, al hacer girar las aspas, hace también girar al generador
eléctrico, que puede ser un alternador. Igual que en el caso de la energía solar,
es necesario disponer de acumuladores para almacenar la energía eléctrica
con la finalidad de ser utilizada en los períodos sin viento.
Rotación
Transforma el vector
En el vector
representado por representado por
Matriz asociada
a la...
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