transformaciones lineales

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE XALAPA

MATERIA: Algebra Lineal

GRADO: 2

GRUPO: “B”

MAESTRO: Jorge Almanza

TEMA: Transformaciones Lineales

INTEGRANTES: Báez Morales Diana Areli
Cruz Cruz Angélica Melissa
Dorantes Armenta Sarahi
Juárez Vásquez Dalia
MartínezDíaz Antolín

FECHA DE ENTREGA: 5/junio/2013


“TRASFORMACIONES LINEALES”
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
Sean V y W espaciosvectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1.
2.
Donde k es un escalar.
Como sabemos una función f de A en B (donde A y B son conjuntos no vacíos cualesquiera) es una regla o criterio que asocia a cada elemento de A, uno ysolo un, elemento de B, lo cual denotamos mediante f: AB; existen también funciones entre espacios vectoriales que en forma similar denotamos por: T:UV, donde U y V son espacios vectoriales sobre el mismo campo K y T es la regla de correspondencia que asigna a cada vector de U uno y solo un vector de V, al que llamaremos “imagen de u” y representamos como T(u).
Al conjunto formado por todos losvectores que son imagen de algún vector del dominio, se le conoce como el recorrido de la transformación.
Transformación Lineal Singular y No Singular
Sean y espacios vectoriales sobre el mismo campo y una transformación lineal de en. Entonces, es no singular si:
X
En caso contrario es singular.
Teorema fundamental de las transformaciones lineales
Sea B = {v1, v2, v3,...vn} base de V y C ={w1, w2, w3,...wn n} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal Para todo.

Clasificación de las transformaciones lineales:
1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.
2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva).
3. Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).
4.Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo).
5. Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

Núcleo o Kernel de una transformación lineal.
El núcleo de una transformación es el conjunto de vectores cuya imagen es el vector cero.
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K y T una transformaciónlineal de V en W. El núcleo o Kernel de T es:

N ( T ) ( Ker T ) = { v Î V : T ( v ) = 0 w }
Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es unsubespacio del dominio:
1. dado que T(0V) = 0W
2. Dados
3. Dados
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad (T) = dim (Nu (T))

O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
El rangode una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
Rg(T) = dim (Im(T))

Sea una transformación lineal de en; se define el núcleo de como

Nótese que es un subespacio de. Por otro lado, se define la imagen de como
Para algún
Es un subespacio de . Si es un subespacio de y es un subespacio de, entonces los conjuntos


Son subespacios de y respectivamente. Obsérvese que, e ....