Transformaciones lineales

Transformaciones lineales.
INTRODUCCION.
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamarantransformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebralineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
DEFINICION.
Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función T : V → W tal que para todos los vectores u yv de V y cualquier escalar c:
* T(u + v) = T(u) + T(v)
* T(c u) = c T(u)
NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL.
Sea T : V → W una transformación lineal. El núcleo T es el subconjunto formado por todos los vectores en V que se mapean a cero en W.
Ker(T) = {v ∈ V | T(v) = 0 ∈ W}
Núcleo e Imagen son subespacios. La propiedad fundamental del núcleo y del contra dominio es que ambosson espacios vectoriales:
Teorema
Sea T : V → W una transformación lineal. Entonces Ker(T) es un subespacio de V R(T) es un subespacio de W.
Demostración.
El núcleo de T es subespacio. Sean v1 y v2 elementos del núcleo de T y c un escalar cualquiera.
Ası T(v1) = 0 = T(v2), y por tanto:
T(c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2) = c1 0 + c2 0 = 0
probando que c1 v1 + c2 v2 esta también en elnúcleo de T. Lo cual a su vez prueba que el núcleo de T es un subespacio de V.
MATRIZ DE UNA TRANSFORMACION LINEAL.
Cualquier transformación lineal T: V ® W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y lostransformados de la base de V, en la base de W.

Supongamos que el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y el espacio W tiene una base {w1, ..., wm}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m x n.
Si T (vi ) = ai1 w1 + .... + aim wm, entonces la columna i de A es (ai1 .... aim )T
 Transformado de (1,0) = (1, 0) 
        Transformado de (0, 1) = (0, -1)       Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMADAS LINEALES: REFLEXION, DILATACION, CONTRACCION Y ROTACION.
Reflexión
Algunas orientaciones deseables para los objetos tridimensionales no pueden ser obtenidas usando solamente giros. Con la reflexión se consigue un efecto "espejo", de modo que los objetos se ven reflejados en un plano.
Cuando lareflexión se hace sobre uno de los planos ortogonales (x = 0, o y = 0, o bien z = 0) la matriz de transformación es sencilla, pues es similar a la matriz identidad, aunque siendo –1 el elemento que representa a la coordenada que es nula en el plano de reflexión. Así, las matrices de reflexión para los planos XY, XZ e YZ son

Cuando se quiera una reflexión sobre un plano cualquiera, el proceso secomplica notablemente. La técnica utilizada es similar a la del giro sobre eje arbitrario. En este caso, inicialmente se requiere definir un punto en el plano, y lanormal al plano en ese punto.
El proceso de reflexión se resume en los siguientes puntos:
• Trasladar el punto establecido del plano al origen de coordenadas
• Realizar los giros oportunos para hacer coincidir el vector normal al plano...