Transformaciones Lineales

Páginas: 7 (1652 palabras) Publicado: 26 de septiembre de 2012
INGENIERIA INDUSTRIAL

MATEMATICAS IV

[pic]

TRABAJO DE INVESTIGACION

TRANSFORMACIONES LINEALES



PROF: FRANSISCO JAVIER ADAME TISCAREÑO



POR: MARTIN LÒPEZ ARTEAGA 4º “B”



ZACATECAS, ZAC A 6 DE ABRIL DE 2011

UNIDAD 5 TRANSFORMACIONES LINEALES

5.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades
Definición.   Sean  V  y  W  espacios vectoriales sobre elmismo campo k. Una transformación lineal  de V  en  W, es una función  [pic]
[pic]
 tal que: [pic]
i)  
[pic]
[pic]
[pic]
ii)  [pic]
[pic]
 [pic]
[pic][pic]
 
[pic]
En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
Observaciones:
i)Si [pic]
[pic]
 es una transformación lineal,entonces  [pic]
[pic]
.
En efecto [pic]
[pic]
. Por la ley de la cancelación en W, tenemos que [pic]
[pic]
.Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva  (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.
ii) [pic]
[pic]
 es lineal si y solo si [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Si T lineal, entonces [pic]
[pic]
. Inversamente, supongamos que [pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Probemos las dos condiciones para que  T  sea lineal:
a)    [pic]
[pic]
.
b)   [pic]
[pic]
Nótese que usamos el hecho de que [pic]
[pic]
, lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).
iii)  [pic]
[pic]
 es lineal si y solo si [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

La demostración se hace por inducción sobre n.
a)      Si  [pic][pic]
, entonces  [pic]
[pic]
, por la condición  (ii) de T.
b)      Supongamos válido para n. Probemos para [pic]
[pic]
:
Por la condición (i) de T, tenemos que, [pic]
[pic]
Y por hipótesis de inducción, tenemos que,
[pic]
[pic]
 
Así que podemos concluir que,
[pic]
[pic]
Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:
[pic]
[pic]
Veamos un ejemplo detransformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación  (ii) de arriba.
Ejemplo 1. 
Sea [pic]
[pic]
 tal que [pic]
[pic]
 [pic]
[pic]
. Entonces  T es lineal,  ya que [pic]
[pic]
, y  por otro lado [pic]
[pic]
. Por lo tanto, vemos que [pic]
[pic]
Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como [pic]
[pic]
5.2 Ejemplos detransformaciones lineales
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales.EJEMPLOS

Rotación por un ángulo Ө

Sea 0 ≤ Ө < 2π un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de R^2

en R^2 que gira cada vector U=( U1,U2) un ángulo θ para obtener un vector T(u)=(v1,v2)

En una gráfica, vemos la situación como sigue:
• Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:

v1= ||T(u)||٠cos(α+Ө) = ||(u)||٠(cos α ٠ cos Ө - sen α٠ sen Ө )

v2= ||T(u)||٠sen(α+Ө) = ||(u)||٠(sen α ٠ cos Ө - cos α ٠ sen Ө )

Distribuyendo y usando el hecho de que U1=||u|| cos α y U2=||u|| sen α

tenemos que:

v1= U1 cos Ө - U2 sen Ө

v2= U2 cos Ө + U1 sen Ө

Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación T:R^2 → R^2

tal que: T (U1 , U2) = (U1 cos Ө - U2senӨ,U2 cos Ө + U1 sen Ө )

Esta transformación sellama la rotación por un ángulo Ө

y es lineal, ya que:

T [(U1 , U2)+ λ(v1 , v 2)] = T (u1 + λ v1 , u2 + λ v2 )

= ((u1 + λ v1)cos Ө - (u2 + λ v2) sen Ө, (u2 + λ v2) cos Ө + (u1 + λ v1) sen Ө)

= (u1 cos Ө - u2 sen Ө, u2 cos Ө + u1 sen Ө) + λ (v1cos Ө - v2 sen Ө , v2 cos Ө + v1 sen Ө)

= T(u1 , u2) + λ T (v1 , v2)

Reflexión sobre el eje x

En este caso, queremos averiguar como...
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