Transformaciones lineales

UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO FACULTAD DE EDUCACIÓN EDUCACIÓN A DISTANCIA ALGEBRA LINEAL

TALLER 9 – TRANSFORMACIONES LINEALES Una transformación T (mapeo o función) de un conjunto A a un conjunto B, representada por T: A→B, es una regla que asocia a cada elemento de A un elemento b, único, de B, llamado imagen de a bajo T. Se escribe T(a)= b y se dice que a se mapea a T(a). A se llama dominio deT. B es codominio de T. El subconjunto de B formado por todas las imágenes de los elementos de A se llama rango o contradominio de T y se representa por R (T) o por T(A). EJEMPLO Sea ��: ��3 → ��2 la transformación expresada por �� ��, ��, �� = (�� − �� + ��, �� + �� − ��) (a) ¿Por qué T es una transformación? ¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es su codominio? (b) ¿Cuál(es) de los vectores (1,-2,3),(1,2,-3) y (1,0,5) tienen la misma imagen bajo T? (c) Determine todos los vectores-3 que se aplican a (0,0). (d) Describa el contradominio de T. SOLUCIÓN (a) T es una transformación porque cada vector 3, como, (x,y,z) corresponden exactamente a un vector 2, que es (x-y + z,x + y-z). El dominio de T es ��3 . El codominio es ��2 . (b) T(1,-2,3) = (1-(-2)+3,1+(-2)-3) = (6,-4). De igual manera, T(1,2,-3)= (-4,6) y T(1,0,5) = (6,-4). Por consiguiente, (1,2,3) y (1,0,5) tienen la misma imagen. Es preciso conocer todos los vectores (x,y,z) tales que T(x,y,z) = (x-y + z,x + y-z) = (0,0). Entonces �� − �� + �� = 0 �� + �� − �� = 0 Cuya solución general es (0,r,r), r ∈R. Todos ellos son los vectores 3 que aplican a (0,0). Para determinar el contradominio se necesitan todos los vectores 2, (a,b), paralos cuales existen números x,y y z tales que T(x,y,z) = (a,b). Entonces, se necesitan todos los (a,b) que hacen consistente al sistema �� − �� + �� = �� �� + �� − �� = ��

(c)

(d)

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Puesto que la matriz de coeficientes tiene dos pivotes (compruébelo), el sistema es consistente para todas a,b. Enconsecuencia, el contradominio de T es ��2 . TRANSFORMACIÓN MATRICIAL Una transformación matricial T se expresa mediante T: ���� → ���� y a esta le corresponde una matriz �� �� ×�� tal que �� �� = ��(��) Para todo �� ∈ �� �� . A se llama matriz (estándar) de T. EJEMPLO 1 −1 1 . Si tomamos 1 1 −1 los vectores x y formamos los productos Ax, obtenemos vectores 2 únicos. Es decir, Consideremos la matrizdeterminada �� = 1 2 1 −1 1 , 0 = 0 1 1 −1 1 Y en general, 1 −1 1 1 1 −1 1 6 −2 = −4 3

�� �� − �� + �� 1 −1 1 �� = �� + �� − �� 1 1 −1 ��

Es claro que podemos definir una transformación T: ��3 → ��2 por la regla �� �� = ����. Este es un ejemplo de transformación matricial, o de matrices. Y esta operación es la transformación mas importante del algebra lineal. TEOREMA Cualquier transformaciónmatricial T: ���� → ���� , �� �� = ���� satisface lo siguiente: 1. �� �� + �� = �� �� + ��(��) para todos x, y en �� �� . 2. �� ���� = ���� �� para todo x en ���� y todos los escalares c. ALGUNAS TRANSFORMACIONES MATRICIALES DEL PLANO Ahora estudiaremos algunas transformaciones matriciales geométricas del plano que son muy interesantes ��2 → ��2 : reflexiones, compresiones-expansiones, cortes yrotaciones.

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REFLEXIONES Las reflexiones se definen respecto a cualquier recta en el plano. Nos interesan aquellas que están vinculadas con una recta que atraviesa el origen, en especial respecto a los ejes coordenados ���� �� ���� y la recta diagonal �� = �� ���� . Véase la figura. Esas reflexiones se definencon las formulas ���� ��, �� = −��, �� Y todas estas son correspondientes son ���� ��, �� = ��, −�� transformaciones 1 0 0 −1 ���� ��, �� = ��, �� matriciales; 0 1 1 0 sus matrices

−1 0 0 1 Reflexiones básicas

COMPRESIONES-EXPANSIONES Las compresiones y expansiones son escalamientos a lo largo de los ejes coordenados. Con mas precisión: para �� > 0, la transformación ���� ��, �� = (����, ��)...