Transformaciones lineales

GUÍA DE ESTUDIO
ÁLGEBRA LINEAL

Tema 3. Transformaciones Lineales
1. ¿QUÉ ES UNA TRANSFORMACIÓN?
En términos generales, una transformación es una
función que permite transformar un vector que
pertenece a un espacio vectorial (dominio) en
otro vector que pertenece a otro espacio vectorial
(codominio). Por esta razón, dicha función es una
función vectorial de variable vectorial, es decir,2.- Homogeneidad.- La imagen del producto de
un escalar por un vector es igual al producto del
escalar por la imagen de dicho vector:

( )

( )

T αv1 = α ⋅ T v1

∀ α ∈K

Un ejemplo de una transformación lineal
T:R3→R2, es la definida por:

()

depende de vectores, y es del tipo w = f v .

T(x, y, z) = (2x, 2y)

Una transformación se representa como T: V→W,
donde V es el“dominio” y W el “codominio” de
la transformación T.

puesto que cumple con ambas propiedades.
En la transformación anterior, si u = ( x, y, z ) es
un vector que pertenece al dominio R3, entonces

()

Esquemáticamente:

el vector T u = (2 x, 2 y ) es un vector que

Transformación
V=Dominio

W=Codominio
T

V

pertenece al codominio R2 y que se denomina la
“imagen” de u .
Todatransformación lineal T:V→W tiene la
propiedad de que la imagen del vector cero del
dominio es igual al vector cero del codominio, es
decir: T 0V = 0W .

T(v)

( )

Imagen de V

3. NÚCLEO DE UNA TRANSFORMACIÓN
2. PROPIEDADES PARA QUE
TRANSFORMACIÓN SEA LINEAL

UNA

De las distintas transformaciones que existen, en
este curso solamente se estudian las denominadas
“transformacioneslineales”.
Para que una transformación sea lineal, ésta debe
satisfacer las propiedades dadas en la siguiente
definición. Si V y W son espacios vectoriales
definidos sobre un campo K, la transformación
T:V→W es lineal si cumple con:
1.- Superposición.- La imagen de la suma de dos
vectores es igual a la suma de las imágenes de
dichos vectores:

(

) ( ) ( )

T v1 + v2 = T v1 + T v2DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

∀ v1 , v2 ∈ V

1 de 10

Se denomina el núcleo de una transformación al
conjunto de vectores cuya imagen es el vector
cero del codominio. Es decir, si T: V → W es una
transformación con dominio V y codominio W,
entonces el núcleo está dado por el siguiente
conjunto:

{

N (T ) = V
v∈

}

T (v ) =
0W

El núcleo es unsubconjunto del dominio.
Además, cuando la transformación es lineal, el
núcleo es un subespacio vectorial del dominio.
El procedimiento para obtener el núcleo N (T )
de una transformación T: V → W es:

COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Dra. Norma Patricia López Acosta

GUÍA DE ESTUDIO
ÁLGEBRA LINEAL

Tema 3. Transformaciones Lineales
•
•

•

Proponer un vector v que pertenezcaal
dominio V.
Calcular la imagen T v del vector v
anterior e igualarla con el vector cero del
codominio, es decir: T (v) = 0W .
Comparar uno a uno los términos de la
igualdad anterior para determinar la
forma específica del vector v propuesto
inicialmente. Como puede deducirse, esta
comparación o igualdad origina una o
varias ecuaciones lineales homogéneas
(dependiendo de los espaciosvectoriales
estudiados) que al ser resueltas permiten
determinar la forma específica del vector
v buscado, que es el vector genérico que
constituye el núcleo y que finalmente
debe escribirse como N (T )
= v ∈V .

()

{

entonces

{( ) ( )

siguiente

( )}

CG = T v1 , T v 2 ,..., T v n

conjunto
es un conjunto

generador del recorrido T (V ) .

El procedimiento paraobtener el recorrido T (V )
de una transformación T: V → W es:
•

Determinar una base del dominio V (por
facilidad la base canónica), denominada:

{

Bcan de V = v1 , v 2 ,..., v n
•

}

Núcleo de la transformación T

el

}

()

Obtener las imágenes T v de los vectores
de la base canónica anterior; las cuales
constituirán el conjunto generador del
recorrido:

{( ) ( )...