Transformaciones Lineales

INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
En esta sección se inicia el estudio de las funciones con valor vectorial de una variable vectorial. Es decir, funciones que tienen la forma w = F(v), en donde la variable independiente v y la dependiente w son vectores. Se enfoca la tención en una clase especial de funciones vectoriales conocidas como transformaciones lineales. Estas funcionestienen muchas aplicaciones importantes en física, ingeniería, ciencias sociales y diversas ramas de las matemáticas.

Si V Y W son espacios vectoriales y F es una función que asocia un vector único en W, con cada vector en V, se dice que F aplica (mapea) Ven W y se escribe F: V ~ W. Además, si F asocia el vector w al vector v se escribe w = F(v) y se dice que w es la imagen de v bajo F.Como ilustración, si v = (x, y) es un vector en RZ, entonces la fórmula

F(v) = (x, x + y, x - y) (5.1)
Define una función que aplica RZ en R3• En particular, si v = (1 ,1), entonces X = 1 Y Y = 1, de modo que la imagen de v bajo Fes F(v) = (1,2, O):

Definición Si F: V → W es una función del espacio vectorial V hacia el espacio vectorial W, entonces F es unatransformación lineal si

(i) F (u + v) = F(u) + F(v) para todos los vectores u y ven V.
(ii) F(ku) = kF(u) para todos los vectores u en V y todos los escalares k.

Como ilustración, sea F:Rz → R 3 la función definida por (5.1). Si u = (X1, y1) Y
v = (x2, Y2), entonces u + v = (X1 + X2, Y1 + y2), de modo que

F(u + v) = (XI + X2' [Xl + X2] + [YI + Y2], [XI + X21- [Y1 + Y2])
= (XI' XI +YI' Xl - YI) + (X2' X2 + y2x2 – y2)
= F(u) + F(v)

También, si k es un escalar, ku = (kx1, ky1), de manera que
F(ku) = (kx1, kx1 + ky1, kx1 – ky1)
= k(x1, X1 + y1, X1 – y1)
= kF(u)
Por tanto, F es una transformación lineal.
Si F V → W es una transformación lineal, entonces para V1 y V2 cualesquiera en V y cualesquiera escalares k1 Y k2 , se tiene
F(K_1 v_1+K_2 v_2 )=F(K_1 v_1 )+ F(K_2v_2 )= K_1 F(v_1 )+K_2 F(v_2 )

De modo análogo, si V¡ , V2, • .• , vn son vectores en V y k1, k2 , • . • , kn son escalares, entonces

F(K_1 v_1+K_2 v_2+ …+K_n v_n )= K_1 F(v_1 )+K_2 F(v_2 )+ …+K_n F(v_n )

A continuación se dan algunos ejemplos adicionales de transformaciones lineales.

Ejemplo 1
Sea A una matriz fija de m X 11. Si se utiliza la notación matricial para vectores enRm y Rn, entonces se puede definir una función T:Rn → Rm por medio de
T(x) = Ax

Obsérvese que si x es una matriz de n x l, entonces el producto Ax es una matriz de m x l ; así entonces, T aplica Rn en Rm. Además, T es lineal; para comprobarlo, sean u y v matrices de n X 1 Y k un escalar. Al aplicar las propiedades de la multiplicación de matrices, se obtiene

A(u + v) = Au + Av y A(ku)= k(Au)

o, de modo equivalente,
T(u + v) = T(u) + T(v) y T(ku) = kT(u)

A la transformación lineal de este ejemplo se le denominará multiplicación por A. A las transformaciones lineales de este tipo se les conoce como transformaciones matriciales.

Ejemplo 2
Como caso especial del ejemplo anterior, sea θ un ángulo fijo supóngase que T:R2 → R2 es la multiplicación por la matrizINTROOUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

A= [■(cos⁡θ&-sin⁡θ@sin⁡θ&cos⁡θ )]

Si v es el vector
v= [x/y]
Entonces:

T(v)= Av= [■(cos⁡θ&-sin⁡θ@sin⁡θ&cos⁡θ )][x/y]= [■(〖x cos〗⁡θ&- y sin⁡θ@x sin⁡θ&+ y cos⁡θ )]

Geométricamente, 1( v) es el vector que se obtiene si se hace girar v hasta describir un ángulo θ• A fin de comprobarlo, sea ∅ el ángulo entre v y el eje x positivo y supóngase quev´= [(x´)/(y´)]
Es el vector que se obtiene al hacer girar v hasta que describe un ángulo θ. Se demostrará que v' = 1(v). Si r denota la longitud de v, entonces

x = r cos ∅ y = r sin ∅


Por tanto,
v´= [(x´)/(y´)]= [■(r cos⁡〖(θ+∅)〗@r sin⁡〖(θ+∅)〗 )]
= [■(r cos⁡〖θ cos⁡∅ - r sin⁡θ sin⁡∅ 〗@r sin⁡〖θ cos⁡〖∅ + 〗 〗 r cos⁡〖θ sin⁡∅ 〗 )]
= [■(〖x cos〗⁡θ&- y sin⁡θ@x sin⁡θ&+ y cos⁡θ )]
=...