Transformaciones Lineales

Páginas: 7 (1521 palabras) Publicado: 2 de junio de 2012
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA.

ALGEBRA LINEAL.

UNIDAD 4.
TRANSFORMACIONES LINEALES APLICADAS A LA GEOMETRÍA.

PROFESOR:
Gabriel Villaseñor.

ALUMNO:
Rigoberto Martínez Cruz.

TERCER SEMESTRE.

Jueves 31 de mayo 2012.

ROTACION

Podemos hacerla en dos sentidos completamente equivalentes:
La rotación de un objeto conrespecto a los ejes coordenados manteniendo los ejes coordenados fijos, podemos suponer que tenemos un vector v0 al cual le imprimimos una rotación en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj en un ángulo θ, situándolo en su nueva posición como el vector v’:
y


V’V0
X
V0
Y le aplicamos un operador, específicamente, una matriz de rotación Rθ:
v’ = Rθ v0

Con mayor detalle, la matriz de rotación en este caso es una matriz 2x2 que consta de los siguientes componentes:

En el segundo caso, la rotación de los ejes coordenados manteniendo al objeto fijo. Podemos suponer que tenemosel mismo vector v0 al cual sin moverlo del lugar en donde está le imprimimos una rotación a los ejes coordenados en los que está especificado, siendo dicha rotación también una rotación en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj en un ángulo θ, situándolo en su nueva posición como el vector v:

v = R’θ v0

En donde lo único que cambia es la matriz de rotación R’θ, la cual es ahorala siguiente matriz 2x2:

En la teoría del Álgebra Lineal, el primer caso en el cual se rota el vector manteniéndose fijos los ejes coordenados la rotación es conocida como una rotación Alibi, mientras que en el segundo caso en el cual se rotan los ejes coordenados manteniéndose fijo el vector la rotación es conocida como una rotación Alias
Ejemplos:
Calcularemos la imagen de (1,1) para .Sea tal que . Entonces T es una rotación pues la matriz correspondiente es ortogonal ya que , son las columnas de la matriz y forman una base ortonormal
en efecto.

donde r=1
O se puede ver como:

Análogamente

Luego

TRASLACION
Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de lasfiguras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector. Dado el carácter de isometría para cualesquiera puntos P y Q se cumple la siguiente identidad entre distancias:

Más aún se cumple que;

1. La figura trasladada es idéntica a la figura inicial.
2. La figura trasladada conserva la misma orientación que la figura original.
Así un vector tridimensional w = (wx, wy, wz)puede ser re escrito usando cuatro coordenadas homogéneas como w = (wx, wy, wz, 1). En esas condiciones una traslación puede ser representada por una matriz como:

La multiplicación de esta matriz por la representación en coordenadas homogéneas de un vector

La inversa de una matriz de traslación puede obtenerse cambiando el signo de la dirección

Similarmente, el producto de dos matrices detraslación viene dado por:

Ejemplos:
Dibuja en el plano cartesiano el trapecio ABCD de coordenadas:
A (-2,2); B (-1,5); C (3,6); D (1,0).

Dibuja la imagen A´B´C´D´ del trapecio ABCD por la traslación T (2, -3)

b)  



Dibuja la imagen A´´B´´C´´D´´ que resulta al aplicar la traslación T (-1, -4) al trapecio A´B´C´D´.

CORTES
A lo largodel eje x es una transformación que toma al vector y lo convierte en un nuevo vector donde c es una constante que puede ser positiva o negativa.
Sea T un corte a lo largo del eje X. Entonces de manera que la representación matricial T es
Ejemplo:
Comenzamos con éste rectángulo.

Corte a lo largo del eje X con C=2
Así

Comenzamos con éste rectangulo.

Corte a lo largo del eje x...
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