Transformaciones Lineales

Kernel

Definición. Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V → W una transformación lineal. Entonces:

El kernel (o núcleo) de T, denotado comoker T, está dado por

ker T = {v ∈ V: Tv = 0}

Obervación. Note que ker T es no vacío ya que por el Teorema 1 de las Transformaciones lineales, T(0)= 0 de manera que 0 ∈ ker T para toda transformación lineal T. Será interesante encontrar otros vectores en V que sean "mapeados al cero". De nuevo,nótese que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V, y el 0 de la derecha está en W.

Imagen de una transformación lineal.Definición. Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V → W una transformación lineal. Entonces:

imag V = { w ∈ W: w = Tv para alguna v ∈V}

Observación. Elconcepto imag T es simplemente el conjunto de "imágenes" de vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, diremos que w es también laimagen de v bajo T.

Teorema. Si T : V → W es una transformación lineal, entonces:

i. ker T es un subespacio de V.

ii. imag T es un subespacio deW.

Demostración.

i. Sean u y v en ker T; entonces T(u + v) = Tu + Tv = 0 + 0 = 0 y T(αu) = αTu = α0 = 0 de modo que u + v y αu están en ker T.ii. Sean w y x en imag T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vectores u y v en V. Esto significa que T(u + v) = Tu + Tv = w + x y T(αu) = αTu = αw. Deesta manera w + x y αw están en imag T.

Ejemplo.

Sea Tv = 0 para todo v ∈ V. (T es la transformación cero.) Entonces ker T = V e imag T = {0}