transformaciones lineales

alejandro
Transformaciones lineales
Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro.
Ejemplo:



Teniendo un espacio vectorial , cuyos elementos son: 1, 2 y dado un espacio vectorial , sus elementos son función de los elementos .

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACINES LINEALES
Sean  y  espaciosvectoriales sobre  (donde  representa el cuerpo) se satisface que:
Si  es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de  de la siguiente manera:



Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial deldominio:
1.  dado que  (para probar esto, observar que ).
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. 
La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
El rango de una transformación lineal es la dimensión de laimagen.


COMO FORMAR NUEVAS TRANSFORMACIONES APARTIR DE OTRAS DADAS
Si f1: V → W y f2: V → W son lineales, entonces también lo es su suma f1 + f2 (definida como (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)).

Si f : V → W es lineal y a es un elemento del cuerpo K, entonces la función af, definida como (af)(x) = a (f(x)), también es lineal.
Gracias a estas dos propiedades, y a que la función que envía todoal elemento nulo es una aplicación lineal, es que el conjunto de transformaciones lineales f: V → W forma un subespacio de las funciones de V en W. A este subespacio se lo nota L(V,W) o Hom(V,W). La dimensión de L(V,W) es igual al producto de las dimensiones de V y W.
Si f: V → W y g: W → Z son lineales entonces su composición g∘f: V → Z también lo es.
Dado un espacio vectorial V, el espaciovectorial L(V,V), que se nota usualmente como End(V), forma un álgebra asociativa sobre el cuerpo base, donde la multiplicación es la composición y la unidad es la transformación identidad.
Si f: V → W es una transformación lineal biyectiva, entonces su inversa también es transformación lineal.
Teorema de las transformaciones lineales
Sea B = {vi: i ∈ J} base de V y C = {wi: i ∈ J} unconjunto vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal T: V → W que satisface:

Sea  una transformación lineal.
Entonces 
Como corolario básico de este teorema, obtenemos que una transformación lineal de un espacio vectorial de dimensión finita en sí mismo es un isomorfismo si y sólo si es un epimorfismo si y solo si es un monomorfismo.


CLASIFICACION DE LASTRANSFORMACIONES LINEALES

Funcional lineal: A las transformaciones lineales  (donde  es el cuerpo base de V) las llamamos funcionales lineales.
Monomorfismo: Si  es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. 
Epimorfismo: Si  es sobreyectiva (suryectiva).
Isomorfismo: Si  es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva)
Endomorfismo: Se le llama a una transformación linealen el que dominio y codominio coinciden.
Automorfismo: Se le llama a un endomorfismo biyectivo.
MATRIZ ASOSIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL
Si V y W tienen dimensión finita y uno tiene elegidas bases en cada uno de los espacios, entonces todo mapa lineal de V en W puede representarse por una matriz. Recíprocamente, toda matriz representa una transformación lineal.
Sean T:V→W una transformaciónlineal, B={v1, ..., vn} una base de V, C={w1, ..., wm} base de W. Para calcular la matriz asociada a T en las bases B y C debemos calcular T(vi) para cadai=1,...,n y escribirlo como combinación lineal de la base C:
T(v1)=a11w1+ ...+am1 wm, ..., T(vn)=a1nw1+ ...+amn wm.
La matriz asociada se nota C[T]B y es la siguiente:

Como un vector de W se escribe de forma única como combinación lineal...