transformaciones lineales




ALGEBRA LINEAL


UNIDAD 5 “TRANSFORMACIONES LINEALES”


PROFESORA: CARMEN TERESA DUARTE INZUNZA.







INDICE :
5.1- INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.

5.2- NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.


5.3- LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.

5.4- APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES: REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN Y ROTACIÓN.-INTRODUCCION-
En la siguiente unidad vamos a mirar el concepto de transformación lineal, lo estudiaremos y entenderemos el significado además de sus aplicaciones y usos que le podemos dar en nuestra vida diaria, además de ver sus diferentes temas de estudio los cuales explican en conjunto con más detalle el concepto de una transformación lineal.


CONTENIDO:

5.1-introducción a las aplicaciones lineales.
Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro.
Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v  V un vector único Tv  W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar.
T(u + v) = Tu + Tv            Y               
T(av)=aTv

TRES OBSERVACIONES SOBRE NOTACIÓN
1. Se escribe T: v W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función  con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.
2. Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la notación funcionalʄ(x), que se lee “ʄ de x”.
3. Gran parte de las definiciones y teoremas en este capítulo también se cumplen para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).

5.2- núcleo e imagen de una transformación lineal.
Definición 1 Núcleo e imagen de una transformación lineal
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformaciónlineal. Entonces

i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por
ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por
Observacion 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos T(0) = 0, el 0de la izquierda está en V y el de la derecha en W.

Observación 2. La imagen  de T es simplemente el conjunto de “imajenes” de los vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.

Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes , se demostrará un teorema de gran utilidad.
En esta sección se desarrollan algunas propiedades  básicas de lastransformaciones lineales.
Teorema 1. Sea T: V  W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,….vn en V y todos los escalares

 Nota  en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v; mientras que el cero de la derecha es el vector cero en W.
i. T(0) = T(0 + 0)= T(0) + T(0). Así 0= T(0) – T(0) = T(0) + t(0) – T(0) = T(0)
ii.T(u-v) = T[u + (-1)v] = Tu +T[(-1)v] = Tu + (-1)Tv = Tu – Tv.
iii.Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice 1). Para n = 2 se tiene T(α1v1 + α2v2) = T (α1v1) + T(α2v2) = α1Tv1 + α2Tv2. Así, la ecuación (1) se cumple para n = 2. Se supone que se cumple para n = k y se prueba para n=k + 1: T(α1v1 + α2v2+ ….+ αkvk+αk+1vk-1 ) = T(α1v1 + α2v2+….+αkvk) + T(αk+1vk+1), y usando la ecuación en la parte iii para n= k, esto esigual a (α1Tv1 + α2Tv2+….αkTvk) + αk+1Tvk+1, que es lo que se quería demostrar. Esto completa la prueba.

Observación. Los incisos i) y ii) del teorema 1 son casos especiales del inciso iii). Un dato importante sobre las transformaciones lineales es que están completamente determinadas por el efecto sobre los vectores de la base.

Teorema 2      Sea v un espacio vectorial de dimensión...