Transformaciones Lineales

TRANSFORMACIONES LINIALES.
Las transformaciones lineales desempeñan un papel importante en matemáticas, física, ingeniería, procesamiento de imagen, graficas en computadoras y en muchas áreas más de la ciencia y de la vida diaria.
Las transformaciones linéales son mapeos de importancia fundamental en el álgebra lineal .son transformaciones entre espacios vectoriales que conservan la sumavectorial y la multiplicación por escalar.
Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal.
Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es
Decir, con la operación y la acción) de estos espacios.
Definiciones, ejemplos y propiedades básicas
En esta sección introduciremos la noción de transformación lineal,como también ciertas
Nociones básicas asociadas a estas funciones.
Transformaciones lineales
Definición 3.1 Sean (V;+V; ¢V) y (W;+W; ¢W) dos K-espacios vectoriales. Una función
f : V ! W se llama una transformación lineal De V en W si cumple:
i) f (v +V v0) = f(v) +W f(v0) 8 v; v0 2 V:
ii) f (¸ ¢V v) = ¸ ¢W f(v) 8 ¸ 2 K; 8 v 2 V:

Observación 3.2 Si f: V! W es una transformación lineal,entonces f (0V) = 0W.
En efecto, puesto que f (0V) = f (0V + 0V) = f (0V) + f(0V ), entonces
0W = f (0V ) + (¡f (0V )) = f (0V ) + f (0V )+ (¡f(0V )) = f( 0V ) +f (0V ) + (¡f (0V )) = f (0V ) + 0W = f (0V ):
OTRAS DEFINICIÓNES
• Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformación lineal o mapeo lineal De V a W es una función T : V → W tal que para todos los vectores uy v de V y cualquier
Escalar c: T(u + v) = T(u) + T(v)
T(c u) = c T(u)


Ejemplos.
1. Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Entonces 0: V ! W, definida por 0(x) = 0W
8 x 2 V, es una transformación lineal.
2. Si V es un K-espacio vectorial, id: V! V definida por id(x) = x es una transformación
Lineal.
3. Sea A 2 Km. Entonces fA: Km! Km definida por fA(x) = (A:xt)t esuna
Transformación lineal.
4. f : K[X] ! K [X], f(P) = P0 es una transformación lineal.
5. F: C(R)! R, donde C(R) = ff: R! R j f es continua, F (g) g(x) dx es una
Transformación lineal.

Se deduce inmediatamente que una transformación lineal preserva
Combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda un vo-
Camente determinada por los valores que toma en loselementos de una base cualquiera de su
Dominio. Comenzamos con un ejemplo.
Ejemplo. Hallar, si es posible, una transformación lineal f: R2! R2 que verifique f(1; 1) =
(0; 1) y f(1; 0) = (2; 3).
Dado (x1; x2) 2 R2 se tiene que (x1; x2) = x2(1; 1)+(x1¡x2)(1; 0). Entonces, si f verifica
lo pedido, debe ser
f(x1; x2) = x2:f(1; 1) + (x1 ¡ x2):f(1; 0) = x2:(0; 1) + (x1 ¡ x2):(2; 3)
= (2x1 ¡2x2;3x1 ¡ 2x2):
Además, es fácil ver que esta función es una transformación lineal y que vale f(1; 1) = (0; 1)
y f(1; 0) = (2; 3).
Luego, f(x1; x2) = (2x1 ¡ 2x2; 3x1 ¡ 2x2) es la ¶única transformación lineal que satisface
lo pedido.
La construcción realizada en el ejemplo puede hacerse en general. Por simplicidad, lo
Probaremos para el caso en que el dominio de la transformación lineal es unK-espacio vectorial
de dimension finita.
Transformación lineal
U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.
T: U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:
1. ∀u1, u2 ∈ U, T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2)
2. ∀u ∈ U, λ ∈ K, T(λu) = λT(u)
La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U,+) y
(V,+).
Cualquier función T: Rn → Rm, X → AX, es lineal.
Elcaso particular, f: R→ R, x → ax, a ∈ Res lineal.
f : R→ R, x → x2, no es lineal.
f : P3(R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 → f (p) = (a0, a1, a2, a3), es
Lineal.
Fd (R, R) el conjunto de las funciones reales derivables.
T : Fd(R,R) → F(R,R)
f → T(f ) =df Dx
(x)
Es lineal
Propiedades
Sea T: U → V una transformación lineal. Se tiene entonces:
1 T (0) = 0 ∈ V
2 T (−u) = −T (u)
3...