transformaciones lineales

Transformaciones Lineales:

Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente. Porotra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformaciónlineal.
Así como cuando se estudian las funciones reales interesan especialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otro interesan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservan operaciones. Es decir, que la función sea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen la estructura de espacio vectorial. En síntesis, podemos dar la siguiente definición:
Una función T: V W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W) 
se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V, 
k Î  K (K es el cuerpo de escalares) se tiene:

T(a + b)=T(a)+T(b)
T (k a) = k T (a)

Que se puede resumir en T ( a +  b) =  T (a) + T (b), llamada propiedad de linealidad.
Si T: V  W es una transformaciónlineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama condominio de T.

Ejemplo 1. A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente transformación:

T:R2  R3 /  x Î R2 :T((x1,x2))=(x1 +x2,x1 -x2,x2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a)¿ x, y Î R2 :T(x + y)=T(x)+T(y)?

x =(x1,x2)
y =(y1,y2) 
x + y =(x1 +y1,x2 +y2) 

T (x + y) = T(x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 + y2) =
                                       = (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 - y2, y2) = T(x)+T(y)

b)¿  x Î R2,  k Î R:T(k x)=kT(x)?
T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, k x1 - k x2, k x2) = 
                                =k(x1 +x2,x1 -x2,x2)=
                                =kT(x)

Severifican las dos condiciones de la definición, entonces la transformación es lineal. 

Ejemplo 2. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: R2 R2 /  x Î  R2 : T((x1,x2))=(x2,x1 +2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a)¿ x, y Î  R2 :T(x + y)=T(x)+T(y)?

x =(x1,x2)
y =(y1,y2) 
x + y =(x1 +y1,x2 +y2)

T (x) + T (y)  = (x2, x1 + 2) + (y2, y1 + 2) = (x2 + y2, x1 + y1 +4)
T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 2) T (x) + T (y) 
                                          
No se verifica esta condición, entonces la transformación no es lineal.

Ejemplo 3. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: Mn x n  R /  v Î Mn xn :T(v)=det(v) Sabemos que det(A + B) det(A) + det(B), y det(kA) = kn det(A) k det(A), entonces esta transformación no eslineal.

 Para toda transformación lineal T: V  W, T (-x) = -T (x)

 Para toda transformación lineal T: V  W, T (0) = 0 ( El que aparece en la izquierda es el vector nulo de V, mientras que el que aparece en el lado derecho es el vector nulo de W. Se puede escribir también T (0V) = 0W )

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, W un espacio vectorial, {v1,..., vn} una base de V, y{z1,..., zn} un conjunto cualquiera de vectores de W. Entonces existe una única transformación lineal T: V  W tal que T (vi) = zi (1 ≤ i ≤ n)
Recordemos que las transformaciones lineales son funciones, y como tales, pueden ser suryectivas, inyectivas o biyectivas. Gráficamente, 
 



Transformación suryectiva
Transformación inyectiva
Transformación biyectiva
 Se dice que:

T: V W es un...