transformaciones lineales

Transformaciones Lineales
Dado dos espacios vectoriales U y V sobre el campo escalar F de…nimos una transformación lineal como sigue
De…nición 0.1. Si T es una aplicación entre U y W
T :U !W
tal que
1. (a) T (u + v) = T (u) + T (v) para todo u; v 2 U
(b) T ( u) = T (u) para todo u 2 U;

2F

decimos que T es una transformación lineal
Ejemplo 0.1. Sea T la aplicación de…nida por
0

1x
B C
T@ y A=
z

x+y
y+z

!

Vamos a ver si es una aplicación lineal
Primero: identi…quemos los espacios vectoriales U y W
U = R3

W = R2

entonces tenemos que
T : R3 ! R2
para probar el item (a) tomamos dos vectores en U = R3
0

1
x1
B
C
u = @ y1 A
z1

0

1
x2
B
C
v = @ y2 A
z2
1

entonces

0

1
x 1 + x2
B
C
u + v = @ y1 + y2 A
z1 + z2

luegoaplicamos T al vector u + v
0

1
x1 + x2
B
C
T (u + v) = T @ y1 + y2 A =
z1 + z2

x1 + x2 + y1 + y2
y1 + y2 + z1 + z2

!

ordenando adecuadamente el ultimo vector
T (u + v) =

x1 + y 1 + x2 + y 2
y1 + z1 + y2 + +z2

!

=

x1 + y1
y1 + z1

!

+

x2 + y 2
y2 + +z2

!

= T (u) + T (v)
ahora para probar el item (b) consideramos

u=

2 F = R y u 2 U = R3 ; luego0

1 0
x1
B
C B
@ y1 A = @
z1

1
x1
C
y1 A
z1

Ahora aplicamos T al vector u
0

1
!
x1
x1 + y1
B
C
T ( u) = T @ y1 A =
=
y1 + z1
z1
!
x1 + y 1
=
= T (u)
y1 + z1

(x1 + y1 )
(y1 + z1 )

!

por tanto T es una transformación lineal
Ejemplo 0.2 (Transformación nula). Sean U y W dos espacios vectoriales y T : U !
W de…nida por
T (u) = 0
para todo u 2 UObservación 0.1. 0 denota el vector nulo de W
Ejemplo 0.3. Sea U = R3 ; W = M22 entonces la transformación nula T : U ! W;
0 1
x
B C
implica que para todo vector u = @ y A la transformación T lo lleva a la matriz nula,
z
2

esto es

0

1
x
B C
T@ y A=
z

!

0 0
0 0

Un ejemplo de una transformación lineal poco usual es el siguiente
Ejemplo 0.4. Sea T : C [0; 1] ! R; de…nidapor
T (f ) =

Z

1

f (x) dx

0

entonces T es una transformación lineal
Aqui los espacios vectoriales son U = C [0; 1] y V = R entonces para probar el item
(a) tomamos dos vectores f; g 2 U; dos funciones continuas en el intervalo [0; 1] ; luego
Z

1

(f + g) (x) dx
Z 1
Z 1
g (x) dx
f (x) dx +
T (f + g) =

T (f + g) =

0

0

0

T (f + g) = T (f ) + T (g)

paraprobar el item (b) tomamos un escalar
f 2U
T ( f) =

Z

2 F = R entonces aplicamos T al vector

1

( f ) (x) dx =

T ( f) =

1

(f (x)) dx

0

0

Z

Z

1

f (x) dx = T (f )

0

con lo cual queda probado que T es una transformación lineal.
Enunciaremos a continuación dos teoremas que
Teorema 0.1. Sea T : U ! W una transformación lineal. Entonces para todos losvectores u; v; v1 ; v2 ;
; vr 2 U y para todos los escalares 1 ; 2 ;
; r se tiene:
1. T (0) = 0
2. T (u
3. T (

v) = T (u)
1 v1

+

2 v2

+

T (v)
+

r vr )

=

1T

(v1 ) +

2T

(v2 ) +

+

rT

(vr )

Teorema 0.2 (Unicidad de la transformación). Sean U; W dos espacios vectoriales
de…nidos sobre el campo escalar F = R; y dos transformaciones lineales T1 ; T2 de U enW , esto es
T1 : U ! W
T2 : U ! W
3

Ademas B = fu1 ; u2 ;
; un g una base del espacio vectorial U y w1 ; w2 ;
cualesquiera en W; tales que
para i = 1; 2;

T1 (ui ) = T2 (ui ) = wi ;

; wn vectores

;n

entonces
T1 = T2
Este teorema es muy útil, pues nos dice que si tenemos una base de U (espacio de
diemnsión …nita) y conocemos T (U ), entonces podemos determinar T (v) ; v 2U; es
mas podemos determinar cual es la regla de correspondencia de T si es necesario.
Ejemplo 0.5. Sea T : P2 ! P1 y B = f1; x; x + x2 g una base de P2 si
T (1) = 0
T (x) = 1
T x + x2

= 2x + 1

determinar T (3 + 2x + x2 ) :
Lo primero que debemos notar es que como B es base de P2 entonces
3 + 2x + x2 es una combinación lineal de los elementos de B
esto es existen escalares únicos...