Transformaciones Lineales



Transformaciones Lineales
A) ¿Cuándo una transformación es lineal?
Si T: V W es una función de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W, entonces T se denomina una transformaciónlineal de V a W si para todos los vectores u y v de V y para todos los escalares c
a) T(u+v)= T(u) + T(v) b) T(cu)= cT(u)
Una transformación es lineal si: T(u + v) = T(u) + T(v) 
T(au) = a T(u) 
donde "u", "v" son vectores y "a" es un escalar

sea u = (u1, u2) y v = (v1, v2) 

u + v = (u1 +v1, u2 + v2) 

T(u+v) = T(u1 + v1, u2 + v2) = ( u1 + v1 + u2 + v2, u1 + v1 - u2 - v2) (1) 
por separado 

T(u) = T (u1, u2) = (u1 + u2, u1 - u2) 

T(v) = T (v1, v2) = (v1 + v2, v1 - v2) 

T(u) +T(v) = (u1 + u2, u1 - u2) + (v1 + v2, v1 - v2) 

T(u) + T(v) = (u1 + u2 + v1 + v2, u1 - u2 + v1 - v2) 

T(u) + T(v) = (u1 + v1 + u2 + v2, u1 + v1 - u2 - v2) (2) 
por otro lado 

au = a(u1, v1) =(au1, av1) 

T(au) = T (au1, av1) = (au1 + av1, au1 - av1) (3) 

aT(u) = a T(u1, v1) = a (u1 + v1, u1 - v1) = ( a(u1 + v1), a(u1 - v1) ) 

aT(u) = (au1 + av1, au1 -a v1) (4) 

Vemos quela expresión (1) es igual a (2) 
Vemos que la expresión (3) es igual a (4) 


Por lo tanto la transformación es lineal.
B) Nucleo, imagen,nulidad y rango de una transformación lineal
a) Núcleo e imagen de una transformación lineal
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T: V W una transformación lineal.
Entonces:


El núcleo de T,denotado por un, está dado por



Observacion 1. Observe que un T es no vacio porque T(0)=0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en Vque “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos T (0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.
Observación 2. La imagen de T es simplemente el conjunto de...