Transformaciones Lineales

TRANSFORMACIONES LINEALES
Así como cuando se estudian las funciones reales interesan especialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otro interesan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservan operaciones. Es decir, que la función sea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen la estructurade espacio vectorial.

En síntesis, podemos dar la siguiente definición:
Una función T: V ® W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W)
se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V,
k Π K (K es el cuerpo de escalares) se tiene:

T (a + b) = T (a) + T (b)

T (k a) = k T (a)
Que se puede resumir en T (a a + b b) = a T (a) + b T (b), llamada propiedad delinealidad.
Si T: V ® W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama condominio de T.
Ejemplo 1. A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente transformación:

T: R2 ® R3 / " x Π R2 : T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2, x2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿ " x, y Π R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x =(x1, x2)
y = (y1, y2)
x + y = (x1 + y1, x2 + y2)

T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 + y2) = = (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 - y2, y2) = T (x) + T (y)

b) ¿ " x Π R2, " k Π R : T (k x) = k T (x) ?

T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, k x1 - k x2, k x2) =
                                = k (x1 + x2, x1 - x2, x2)=
                                = k T (x)

Se verifican las dos condiciones de la definición, entonces la transformación es lineal.

Ejemplo 2. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: R2 ® R2 / " x Î  R2 : T ((x1, x2)) = (x2, x1 + 2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿ " x, y Î  R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x1, x2)
y = (y1, y2)
x + y = (x1+ y1, x2 + y2)

T (x) + T (y)  = (x2, x1 + 2) + (y2, y1 + 2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 4)
T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 2) ¹ T (x) + T (y)
                                          
No se verifica esta condición, entonces la transformación no es lineal.

Ejemplo 3. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: Mn x n ® R / " v Î Mn x n : T (v) = det(v)

Sabemos quedet(A + B) ¹ det(A) + det(B), y det(kA) = kn det(A) ¹  k det(A), entonces esta transformación no es lineal.
Propiedades de las transformaciones lineales
Para toda transformación lineal T: V ® W, T (-x) = -T (x)

Para toda transformación lineal T: V ® W, T (0) = 0 ( El que aparece en la izquierda es el vector nulo de V, mientras que el que aparece en el lado derecho es el vector nulo de W. Sepuede escribir también T (0V) = 0W )

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, W un espacio vectorial, {v1,..., vn} una base de V, y {z1,..., zn} un conjunto cualquiera de vectores de W. Entonces existe una única transformación lineal T: V ® W tal que T (vi) = zi (1 ≤ i ≤ n)
Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa el cuerpo) se satisface que:
Si es lineal, se define el núcleo(ker) y la imagen (Im) de de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:
1. dado que
2. Dados
3. Dados
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.
Laimagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
* La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
* El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

una función lineal es la correspondencia
Teorema fundamental de las transformaciones...