transformaciones lineales

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MINATITLÁN

Alumno: José Ricardo Ventura Morales.
Docente: Ing. Ángel Solano González.
Materia: Álgebra lineal.
Trabajo: Investigación de la unidad 5
Nombre de la unidad: Transformaciones lineales.

ALGEBRA LINEAL .
UNIDAD 5
TRANSFORMACIONES LINEALES.

TEMAS A TRATAR.
 5.1 introducción a las transformaciones lineales.
 5.2 núcleo e imagen de una transformaciónlineal.
 5.3 la matriz de una transformación lineal.
 5.4 aplicación de las transformaciones lineales: reflexión,
dilatación, contracción y rotación.

INTRODUCCIÓN.
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un
vector para convertirlo en otro vector.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean
espacios vectoriales y se cumplan las condicionesnecesarias. Las
trasformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en
otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones
importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la
ingeniería y en diversas ramas de la matemática. 
A continuación se explican las propiedades de las transformaciones lineales, sus
diferentestipos, su imagen y el núcleo, y su representación matricial aunado a
diversas aplicaciones de dichas transformaciones lineales.

5.1 INTRODUCCIÓN A LAS
TRANSFORMACIONES LINEALES.
DEFINICIÓN:
Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el
objetivo es transformar un espacio vectorial en otro.
NOTACIÓN:
Para señalar una transformación lineal usaremos f(v)=W, donde V y Wson los
espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo.
TERMINOLOGÍA:
A las transformaciones lineales las llamaremos aplicación lineal.

GRÁFICO:
Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son : V1,V2,…,.Vn y dado un
espacio vectorial W, sus elementos son función de los elementos de V.
V

W
F

V1
V2
V3

Sean:
V,W espacios vectoriales

W1
W2
W2

V1,V2,V3
Vectores
W1,W2,W3

PROPIEDADES:Si T: V→W


T(0)=0



T(-v)= -T(v)



T(u-v)= T(u)-T(v)

TEOREMA:
Una función f de V en W que se asigna a cada vector V, un vector f(v) Є W es
una transformación lineal, si y sólo sí
satisface los siguientes axiomas.
1. f(vi+vj)= f(vi) + f(vj)
2. F(vj)=a.f(vi)

TEOREMA
Sea f: v

W Una transformación lineal, entonces se cumple que:

1. F (0v) = 0w
2. F (Vi + Vj)= f f(Vi)- f (Vj)

TEOREMA:
Sea f:V

W Una transformación lineal, dimV=n
dimV=dimN (f) + dimlm (f)

 EJEMPLO:
Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar
un diagrama.
F: P(2)
(a+bx+cx^2

R^2
f (a+bx+cx^2) =(a-b,2c+a)

SOLUCIÓN:
Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los
vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a
cadavector.

 Continuación de la solución:
V1 (1-X)

f (1-x) = (2,1)

V2(3+X-2X^2)

f (3+x-2x^2) = (2,-1)

V3(0+0X+0X^2)

f (0+0x+0x^2) = (0,0)

diagrama:
P(2)

(a+bx+cx^2)

R2

f

F (a+bx+cx^2)
= (y,z)

5.2 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA
TRANSFORMACIÓN LINEAL.
1. Definición (la imagen de una transformación lineal). Sean V, W espacios
vectoriales sobre un campo F y sea T Є L (V; W). La imagen de T se definecomo el
conjunto de todos los valores de la aplicación T:


im(T) := {w Є W :

Ǝv Є V

tal que w = T(v)}.

 
2. Definición (el núcleo de una transformación lineal). Sean V, W espacios
vectoriales sobre un campo F y sea T Є L (V; W). El núcleo (kernel, espacio nulo) de
T se define como la pre imagen completa del vector nulo:


ker(T) := { x Є V : T(x) = 0W}.

El núcleo es un subespacio vectorialperteneciente al espacio vectorial V, cuyo
vector correspondiente en el espacio vectorial W es el vector cero.
N(f) = { v € V │ f (v) = 0w }

NOTACIÓN: Núcleo se denota N(f)
GRÁFICO:
Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1,v2,…, y dado un espacio
vectorial W, el núcleo está formado por todos aquellos vectores que tienen como
correspondiente el vector cero en W.
V

W

Sean:
V,W:...