Transformaciones Lineales

ITZ

CARRERA: INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

GRUPO: 2 B

ALGEBRA LINEAL

TITULO: TRANSFORMACIONES LINEALES

NOMBRE: ALBERTO MARTINEZ HERNANDEZ

FECHA: 14/02/13

TRANSFORMACIONES LINEALES

Introduccion.-
En este trabajo se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan lasuma y la multiplicacion por escalares.
Transformaciones lineales.-
Desde el punto de vista de la algebra lineal, las transformaciones más importantes son aquellas que conservan las combinaciones lineales. Estas también son llamadas como transformaciones lineales o mapeos lineales. Transformación lineal es una parte esencial en la álgebra lineal. Transformaciones lineales entre dos espaciosvectoriales U y V relaciona el mapeo T: U → V que satisface estas condiciones:
T (U1 + U2) = T (U1) + T (U2), donde U1 y U2 son vectores en U 2). T (Au) = A T (u), donde A es cualquier cifra escalar.
La primera condición se conoce como la aditividad mientras que la segunda se conoce como homogeneidad. Puede ser definido como una función entre dos espacios vectoriales, la cual conserva operaciones demultiplicación escalar y suma. De acuerdo con la álgebra abstracta, son homomorfismo de espacios vectoriales.
Toda transformación que conserva combinaciones lineales es una transformación lineal. Otra propiedad evidente es que cualquier transformación lineal mapas 0 a 0: T (0) = 0. . Este sigue, por ejemplo, el hecho de que T (x) = T (x + 0) = T (x) + T (0) Para alguna x 2 V, la cual sólo puedeocurrir si T (0) = 0.
Propiedades generales de transformaciones lineales:
Suponga que V es un espacio vectorial dimensional finito sobre F, y W es otro espacio vectorial (no necesariamente de dimensión finita) sobre F. Dado una base de V, existe una transformación lineal única T: V → W tomando cualquier valor que deseamos en la base dada de V, y, además, sus valores sobre la base de V determinanunicamente la transformación lineal.
Además, sea V y W espacios vectoriales sobre F. Entonces, cada transformación lineal T: V → W es determinado únicamente por sus valores sobre una base de V. Por otra parte, si v1. . . vn es una base de V y w1, . . . ,wn sonvectores arbitrarios en W, entonces existe una transformación lineal única T: V → W tal que T (vi) = wi para cada i. En otras palabras, hayuna transformación lineal única con los valores dados en una base.
Otra propiedad de transformación lineal establece que si V y W son espacios vectoriales sobre F, entonces cualquier combinación lineal de transformaciones lineales con dominio V y objetivo W también es lineal. Así, el conjunto L (V, W) de todas las transformaciones lineales T: V → W es un espacio vectorial sobre F.5.1Introduccion a las transformaciones lineales.
La transformación lineal es una función utilizada para la asignación de un espacio vectorial a otro espacio vectorial con la ayuda de los escalares, la cual satisface la expresión f(a*x+b*y) =a*f(x)+b*f(y).
En otras palabras, se consideran 2 espacios vectoriales, V y W. Una transformación lineal es una gráfica T: V→ W que satisface dos condiciones:
1). T (v1+ v2) = T (v1) + T (v2) donde v1 y v2 son vectores en V. 2). T (xV) = x T (v) donde x es una escala
Una transformación lineal puede ser sobreyectiva o inyectiva. En el caso que, W y V tengan dimensiones idénticas, entonces T puede llegar a ser invertible, esto es, se encuentra T-1 el cual satisface la condición TT-1 = I. Asimismo, T (0) será siempre 0.

La teoría de la matriz entra en la teoríade las transformaciones lineales porque es posible representar cada transformación lineal como matriz. La multiplicación de matrices puede considerarse como el ejemplo principal que puede demostrar el concepto de transformación lineal. Una matriz A de dimensión n x m define que T (v) = Av y aquí v es representado como un vector columna. Veamos un ejemplo:
Aquí, la transformación lineal t es...