transformaciones lineales

AL

2014

Transformaciones Lineales
Definición de transformación

Una función, aplicación o transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de un
espacio vectorial 𝑉, para convertirlo en un elemento de otro espacio vectorial 𝑊.
EJEMPLO 3.1. Sean los espacios vectoriales

𝑉 = {𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐|𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ}

y

𝑊 = {(𝑎, 𝑏, 𝑐)|𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ}

y la transformación 𝑇: 𝑉 → 𝑊definida por 𝑇(𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) = (𝑎 + 1, 𝑏 + 𝑐, 0).

Se observa fácilmente que cualquier elemento de 𝑉 se convierte en un elemento de 𝑊, tras aplicársele la
transformación 𝑇. Por ejemplo, si 𝑣̅ = −2𝑥 2 + 𝑥 − 2, al aplicarle la transformación 𝑇, se obtiene:
𝑇(−2𝑥 2 + 𝑥 − 2) = (−2 + 1, 1 − 2, 0)
= (−1, −1, 0)

Por lo que el polinomio de 𝑉 se convirtió en una terna ordenada perteneciente a 𝑊.

EJEMPLO3.2. Sea 𝑀2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos con elementos reales, y una
transformación 𝐻: 𝑀2 → 𝑀2 que se define como
𝐻�

𝑎
𝑐

𝑏
𝑎
�=�
𝑑
−𝑏 − 𝑐

𝑏+𝑐
�
𝑑

En este caso, la transformación se aplica del mismo espacio al mismo espacio. Por ejemplo, para el vector 𝑥̅ = �
se tiene que la transformación obtenida es

𝐻�

1
0

1
−1
�=�
−(−1) − 0
1
1 −1
�
=�
1 1

−1 + 0
�
1

1 −1�
0 1

Dominio, codominio, núcleo y recorrido de una transformación.
Al igual que las funciones tradiciones, las transformaciones tienen tres partes esenciales para existir: el dominio, el
codominio, y la regla de asignación, como se observa en la figura 3.1.

1

Ing. Aldo Jiménez Arteaga

AL

𝑻: 𝑽 → 𝑾

V

.

2014

W

.

�) = 𝒘
�
𝑻(𝒗

�
𝒗

𝑻(𝑽)

Figura 3.1. Diagrama de Venn de una transformación. 𝑉es el dominio, 𝑊 el codominio, 𝑇 la regla de asignación y
𝑇(𝑉) es el recorrido.

El dominio es el espacio vectorial 𝑉 al cual se le aplicará la transformación; el codominio es el espacio 𝑊 al cual
pertenece el resultado de aplicar la transformación; la regla de asignación 𝑇 es la forma en la cual se debe manipular un
elemento de 𝑉 para convertirlo en un elemento de 𝑊; finalmente, 𝑇(𝑉) es elrecorrido de la transformación, y es el
subconjunto de 𝑊 obtenido a partir de la aplicación de la transformación a cada elemento de 𝑉.
EJEMPLO 3.3. Sea la transformación 𝑆: ℝ4 → 𝑃1 , definida por la regla de asignación
𝑆(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑑)𝑥 + (𝑏 − 𝑐)

donde ℝ4 es el espacio vectorial de los cuartetos ordenados con elementos reales, y 𝑃1 es el espacio vectorial de los
polinomios de grado menor o iguala uno.
En este caso, el dominio de 𝑆 será el espacio ℝ4 ; en tanto que el codominio es 𝑃1 . Para obtener el recorrido de la
transformación se requiere obtener uno de sus conjuntos generadores. Esto se logra a partir de la transformación de
una base del dominio; es decir, si se aplica la transformación a la base de ℝ4
𝐵 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}

Se obtendrá unconjunto generador:

Entonces, el conjunto generador del recorrido es

𝑆(1, 0, 0, 0) = 𝑥
𝑆(0, 1, 0, 0) = 1
𝑆(0, 0, 1, 0) = −1
𝑆(0, 0, 0, 1) = 𝑥
𝐺 = {𝑥, 1, −1, 𝑥 }

Como se observa, el conjunto 𝐺 también es generador de 𝑃1 . En este caso, el recorrido y el codominio son el mismo.

EJEMPLO 3.4. Para la transformación 𝑇: ℂ → 𝑀2 definida por

2

Ing. Aldo Jiménez Arteaga

𝑥
𝑇(𝑥 + 𝑦𝑖) = �−𝑦

−𝑦
𝑥 + 𝑦�AL

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donde ℂ (dominio) es el espacio vectorial de los números complejos sobre el campo real, y 𝑀2 (codominio) es el espacio
vectorial de las matrices cuadradas de orden dos sobre el campo real.
El recorrido se obtendrá por medio del conjunto generador resultante de transformar la base {1, 𝑖 }.
1 0
�
0 1
0 −1
�
𝑇(𝑖) = �
−1 1

𝑇(1) = �

Para este caso 𝑀2 ≠ 𝑇(ℂ). Utilizando la ecuación dedependencia lineal
𝛼1 �

Y teniendo el sistema de ecuaciones lineales

1
0

0
0
� + 𝛼2 �
1
−1

𝛼1
−𝛼2
−𝛼2
𝛼1 + 𝛼2

−1
𝑎
�=�
1
𝑐

𝑏
�
𝑑

=𝑎
=𝑏
=𝑐
=𝑑

Se obtiene que el espacio generado por el conjunto {𝑇(1), 𝑇(𝑖)} es
𝑎
𝑐
𝑎
= ��
𝑏

𝑇(ℂ) = ��

𝑏
� �𝑏 = 𝑐, 𝑑 = 𝑎 − 𝑏; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ�
𝑑
𝑏
� �𝑎, 𝑐 ∈ ℝ�
𝑎−𝑏

Dentro de las transformaciones existe un subconjunto especial llamado núcleo. El núcleo es parte del...