Transformada De Fourier

Páginas: 5 (1132 palabras) Publicado: 1 de octubre de 2012
TRANSFORMADA Y SERIES DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO
Christian Cañafe
christianc_32@hotmail.com


RESUMEN: En este análisis de la transformada y series de Fourier en tiempo discreto las señales y los sistemas se describen de manera más útil por sus propiedades en el dominio de la frecuencia que por las propiedades en el dominio del tiempo. Para el desarrollo de las transformadas y series deFourier se analiza mediante las propiedades establecidas por cada transformada.
PALABRAS CLAVES: periodo, frecuencia, secuencia, propiedades.
1. INTRODUCCION:
Para el análisis de la transformada y series de Fourier en tiempo discreto las señales, se realiza un análisis matemático de una señal arbitraria en un instante o punto dado, lo que caracteriza a los sistemas de tiempo discreto en eldominio de la frecuencia.
2. SERIES DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO.
Las series de Fourier en tiempo discreto conocida como SFTD, es un suma infinita solo de N términos.
Una señal en tiempo discreto es periódica con periodo N si:
xn=x[n+N] (1)
Su periodo fundamental es el entero positivo N, y ωo=2π/N que es la frecuencia fundamental. Entonces l conjunto total de lasseñales exponenciales complejas discretas con periodo N está dada por
φkn=ejωokn=ejk2πNn (2)
k=0,±1, ±2,…
Estas señales tienen frecuencias fundamentales que son múltiplos de 2π/N y por tanto están relacionadas armónicamente.
Al considerar la representación de secuencias periódicas en términos de combinaciones lineales su combinación lineal φkn nos da:
xn=k=0N-1aKφkn(3)
Entonces una señal periódica en tiempo discreto x[n] de periodo N se puede representar mediante el desarrollo en serie de Fourier de la secuencia periódica x[n] y los valores ak que son los coeficientes de desarrollo.
xn=k=0N-1aKejωokn (4)
Reemplazando ωo=2π/N que es la frecuencia fundamental nos da:
x[n]=k=0N-1aKejk2πNn(5)
Ahora consideramos la representación en serie de Fourier de la ecuación (5), al multiplicar ambos miembros por e-jr2π/Nn y sumando los ambos términos tenemos
k=0N-1x[n] e-jr2π/Nn=n=Nk=NaK e-jr2π/Nn
(6)
Si los valores de r esta sobre la misma escala sobre el cual k varia en la sumatoria exterior, entonces la suma interiores igual a N si k=r o si k≠r, entonces el miembro derecho se reduce a
xn=k=0N-1X[k]ejωokn (7)
2.1 PROPIEDADES DE LA SERIE DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO.

Tabla 1. Propiedades de la serie de Fourier en tiempo discreto.
3. TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO (DTFT).
La transformada de Fourier de tiempo discreto es exactamente análoga a la de tiempo continuo.Si se considera una secuencia general x[n] que tiene duración finita. Es decir para N1 y N2, x[n] = 0 fuera del intervalo -N1≤n≤N2. Fig. [1].

Figura 1. Señal x[n] de duración finita.
Como se muestra en la figura [1] podemos construir una secuencia periódica para lo cual x[n] sea un periodo, cuando el periodo es más grande fig. [2], y conforme N vaya al infinito, xn=x[n] para cualquier valorfinito de n.

Figura 2. Señal periódica xn=x[n] en un periodo
Entonces analizando las ecuaciones (5) y (7) tenemos:
xn=k=0N-1aKejk2π/Nn (8)
aK=1Nk=0N-1xn e-jk2π/Nn (9)
Como xn=x[n] en un intervalo -N1≤n≤N2 , remplazamos las ecuaciones (9) en (8), y su ecuación de análisis es:
Xejω=n=∞+∞x[n] e-jωn (10)
Donde Xejω se conocecomo la transformada de Fourier de tiempo discreto.
Como la TFTD permite representar el contenido en frecuencia de una señal discreta, realizando la transformada inversa tenemos la ecuación de síntesis:
xn TFTD Xejω
Como Xejω y ejω es periódica en ω con periodo de 2π . Entonces el producto entre Xejωejω también será periódico.
En la figura [3] se puede analizar donde cada termino...
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