Transformada Fourier

Tema 9. Transformada de Fourier
Prof. William La Cruz Bastidas 28 de junio de 2002

Tema 9

Transformada de Fourier
A continuaci´n introduciremos el concepto de transformada de Fourier continua. De ahora en o adelante, denotaremos con j la unidad imaginaria.

9.1

Transformada de Fourier

Sea x(t) una se˜ al continua. Se define la transformada de Fourier de x, denotada con X(ω), comon la funci´n o ∞ X(ω) = x(t)e−jωt dt (9.1)
−∞

que est´ definida en y toma valores complejos. Para que la transformada de Fourier de una se˜ al a n x(t) exista (en forma ordinaria no como funci´n generalizada), x debe satisfacer las siguientes o propiedades denominadas condiciones de Dirichlet: (1) x(t) es absolutamente integrable, esto es,
∞

|x(t)| dt < ∞.
−∞

(2) x(t) posee un n´ merofinito de discontinuidades en cualquier intervalo finito. u Ejemplo 9.1 Sea  −3t,  x(t) = t + 1,   3 t≤0 0 1.

Se observa que x(t) no es absolutamente intebrable, por lo tanto su transformada de Fourier no existe. Ejemplo 9.2 Sea x(t) = e−at u(t), con a > 0. Calcular la transformada de Fourier de x(t). Soluci´n. Es claro que x(t) es continua en o
∞

y
∞

|x(t)| dt =
−∞ 0

e−at < ∞.

1TEMA 9. TRANSFORMADA DE FOURIER Por lo tanto, X(ω) existe y viene dada por
∞

2

X(ω) =
−∞ ∞

x(t)e−jωt dt e−at e−jωt dt e−(a+jω)t dt
∞ 0

=
−∞ ∞

=
−∞

= − =

1 e−(a+jω)t (a + jω) 1 . (a + jω)

Ejemplo 9.3 Calcular la transformada de Fourier de δ(t). Soluci´n. Como δ(t) no es una funci´n continua en todo y, adem´s, es una funci´n generalizada, o o a o su transformada deFourier no existe en forma ordinaria. Para remediar esto es conveniente generalizar el concepto de transformada de Fourier, lo cual se har´ simplemente forzando la a existencia de la transformada de Fourier de δ(t). La transformada de Fourier de δ(t) viene dada por:
∞

X(ω) =
−∞ ∞

δ(t)e−jωt dt δ(t) [cos ωt − jsen ωt] dt

=
−∞ ∞

∞

=
−∞

δ(t) cos ωt dt − j
−∞

δ(t)sen ωt dt= cos(0) − jsen (0) = 1. En el ejemplo 9.3 se introdujo la transformada de Fourier generalizada, la cual es muy necesaria para establecer transformadas de Fourier de funciones que no la poseen en forma ordinaria. Definici´n 9.1 (Transformada Inversa de Fourier) Sea x(t) una se˜al cuya transformada o n de Fourier es X(ω). La transformada inversa de Fourier es el proceso de obtener x(t) a trav´s e deX(ω) y se define como: ∞ 1 x(t) = X(ω)ejωt dω. (9.2) 2π −∞ Seg´ n (9.2) la transformada inversa de Fourier se traduce a integrar la Funci´n X(ω)e jωt que u o est´ definida de los reales a los complejos. El siguiente ejemplo ilustra esta afirmaci´n. a o Ejemplo 9.4 Determine la transformada inversa de Fourier de la funci´n X(ω) = δ(ω). o

TEMA 9. TRANSFORMADA DE FOURIER Soluci´n. Se tiene que ox(t) = = = = =
∞ 1 X(ω)ejωt dω 2π −∞ ∞ 1 δ(ω)ejωt dω 2π −∞ ∞ 1 δ(ω) cos ωt dω − j 2π −∞ 1 [cos(0) − jsen (0)] 2π 1 . 2π

3

∞

δ(ω)sen ωt dω
−∞

En general, la expresi´n (9.2) no se utiliza para hallar la transformada inversa de Fourier. o Normalmente se emplea un procedimiento algebraico el cual se estudiar´ en el Tema 10. a

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9.2

Algunos paresde transformadas de Fourier

En la Tabla 9.1 se observan las transformadas de Fourier de las se˜ ales b´sicas. n a

Se˜ al n
+∞ k=−∞

Transformada de Fourier
+∞

ak ejkω0 t

2π
k=−∞

ak δ (ω − kω0 )

ejω0 t cos ω0 t sen ω0 t x (t) = 1 sen W t πt δ (t) u (t) δ (t − t0 ) e−at u (t), Re {a} > 0 te−at u (t), Re {a} > 0 tn−1 −at e u (t), Re {a} > 0 (n − 1)!

2πδ (ω − ω0 ) π [δ (ω −ω0 ) + δ (ω + ω0 )] π [δ (ω − ω0 ) − δ (ω + ω0 )] j 2πδ (ω) X (ω) = 1 1 + πδ (ω) jω e−jωt0 1 a + jω 1 (a + jω)2 1 (a + jω)n 1 |ω| < W 2 |ω| > W

Tabla 9.1: Pares b´sicos de transformadas de Fourier. a

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9.3

Propiedades de la transformada de Fourier

En la Tabla 9.2 se observan las propiedades de la transformada de Fourier.

Propiedad

Se˜ al...