Transformada de fourier

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ETSIT-Vigo. Ingeniería Técnica de Telecomunicación

Análisis de circuitos. Segunda parte: Sistemas lineales

Tema III: Transformada de Fourier

Enrique Sánchez, 2009 Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones enrique.sanchez@uvigo.es http://www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigacion/acGDAF.html

ETSIT-Vigo. Ing. Técnica Telecomunicación. ANÁLISIS DE CIRCUITOS

Transformada de Fourier (nocionesbásicas)
http://www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigación/acGDAF.html

Una función periódica, f(t), puede formularse como serie de Fourier mediante la expresión ∞ f(t) = a v + ∑[a k cos(kω 0 t) + bk sen(kω 0 t)]



k=1

k: número natural ω0 = 2π/T0: frecuencia angular fundamental kω0: frecuencia de la componente armónica de orden k € Un circuito sometido a una excitación periódica puede analizarsedescomponiendo la excitación en componentes armónicos, aplicando las técnicas del análisis en régimen sinusoidal permanente y el principio de superposición
enrique.sanchez@uvigo.es

Coeficientes de Fourier
1 t 0 +T0 av = ∫ f(t)dt T0 t 0 

 2 t 0 +T0 ak = ∫ f(t)cos(kω 0t)dt T0 t 0 

 2 t 0 +T0 bk = ∫ f(t)sen(kω 0t)dt T0 t 0 








Enrique Sánchez, 2009. Dpto. Teoría de la Señal yComunicaciones

ETSIT-Vigo. Ing. Técnica Telecomunicación. ANÁLISIS DE CIRCUITOS

Transformada de Fourier (nociones básicas)
http://www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigación/acGDAF.html

Casos particulares
2 T0 / 2 av = ∫ f(t)dt T0 0 av = 0 ak = 0 4 T0 / 2 bk = ∫ f(t)sen(kω 0t)dt T0 0

Simetría par 4 T0 / 2 ⇒ ak = ∫ f(t)cos(kω 0t)dt T0 0 f(t) = f(−t) bk = 0 

 € Simetría de media onda  T  ⇒f(t) = − f t − 0  2  



Simetría impar ⇒ f(t) = − f(−t) 





4 T0 / 2 4 T0 / 2 k impar : a k = ∫ f(t)cos(kω 0t)dt, bk = ∫ f(t)sen(kω 0t)dt T0 0 T0 0



Enrique Sánchez, 2009. Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones

enrique.sanchez@uvigo.es

av = 0 k par : a k = 0 = bk

ETSIT-Vigo. Ing. Técnica Telecomunicación. ANÁLISIS DE CIRCUITOS

Transformada de Fourier(formulación trigonométrica, espectro)
http://www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigación/acGDAF.html

Ak =

2 ak

+

2 bk

f(t) = a v +

A = bk f(t) impar ⇒ k k=1 

 ϕ k = 90 ° 

 € Facilita el tratamiento mediante las técnicas del régimen sinusoidal permanente € Espectro (de módulos y fases) de€ función f(t) la La serie contiene infinitos términos; los menos relevantes se eliminan con filtros

b ⇒ ϕ k= arctg k ak

k=1

∑[a k cos(kω 0t) + bk sen(kω 0t)] =




A = ak f(t) par ⇒ k ϕk = 0 ° 



= a v + ∑ A k cos(kω 0 t − ϕ k )

señal original

señal reconstruida con 8 componentes

Enrique Sánchez, 2009. Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones

enrique.sanchez@uvigo.es

ETSIT-Vigo. Ing. Técnica Telecomunicación. ANÁLISIS DE CIRCUITOS

Transformada de Fourier(formulación trigonométrica, espectro)
http://www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigación/acGDAF.html



Enrique Sánchez, 2009. Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones

enrique.sanchez@uvigo.es

V 1T a v = ∫ v(t)dt = m T0 2 V 2 2 A k = a k + bk = m ∞ T  2kπ  2 kπ ⇒ v(t) = Vm + Vm cos 2kπ + 90 ° a k = ∫ v(t)cos ∑ dt = 0 ⇒   bk T0 2 k=1 kπ  T   T  ϕ k = arctg = − 90 °  2kπ  ak V 2T bk = ∫v(t)sen dt = − m  T0 kπ  T  



ETSIT-Vigo. Ing. Técnica Telecomunicación. ANÁLISIS DE CIRCUITOS

Transformada de Fourier (formulación exponencial)
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A 1 t 0 +T0 Ck = ∫ f(t)e −jkω 0t dt = k T0 t 0 2 ∠−ϕ k 

 f(t) = ∑Ck e jkω 0t k= −∞ 






  En la formulación exponencial, el orden de un armónico puede ser tanto positivo comonegativo €   En la formulación exponencial, no hay componente continua   El espectro de módulos en la formulación exponencial es simétrico con relación al eje de ordenadas   Para armónicos de igual orden (en valor absoluto), el módulo en la formulación trigonométrica es el doble del correspondiente a la formulación exponencial
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