Transformada de Laplace

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “RAFAEL MARIA BARALT”
PROGRAMA: INGENIERIA Y TECNOLOGIA
PROYECTO: INGENIERIA DE GAS
ASIGNATURA: SIMULACION MATEMATICA DE PROCESOS
MSC. JOHN LAMBERTOINTEGRANTES:
(LIDER) YUSMARY CARRILLO 20.438.545
FRANCIEL SOMAZA 24.258.241
JESUS RODRIGUEZ 18.560.145
YENIFER GIL 19.970.882
ARIANA OCHOA 21.382.133
ELEIDY YEDRA 20.084.593
MARIA BRACHO 20.085.269
YESSIKA PARRA 20.725.729
SECCION: 05
ALTAGRACIA, NOVIEMBRE DE 2010
ESQUEMA
UNIDAD I: ECUACIONES DEFERENCIALES PARCIALES
1.- ECUACIONES LINEALES YCLASIFICACIÓN
2.- ECUACIONES DE TIPO ELÍPTICAS
3.- ECUACIONES DE TIPO HIPERBÓLICAS
4.- ECUACIONES DE TIPO PARABÓLICAS
5.- SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN (SOLUCIONES GENERALES Y SOLUCIONES PARTICULARES POR SEPARACIÓN DE VARIABLES)
6.- ALGUNAS ECUACIONES RELAVANTES DE LA FISICA MATEMATICA
ECUACION DE CONTINUIDAD
ECUACION DE DIFUSION DEL CALOR
ECUACION DE LA CUERDAVIBRANTE
ECUACION DE LAPLACE










1.- ECUACIONES LINEALES Y CLASIFICACIÓN
ECUACIONES LINEALES
La forma general de una ecuación diferencial en derivadas parciales lineales de segundo orden (EDP) con dos variables independientes, X y Y, es:

En que A, B, C, ..., G son funciones de X y Y, cuando G (X,Y)=0, la ecuación se llama homogénea; en cualquier otro caso es no homogéneaEJEMPLO:
La ecuación es homogénea mientras que es no homogénea.
CLASIFICACIÓN
Una ecuación en derivadas parciales, lineal de segundo orden con dos variables independientes y con coeficientes constantes, puede pertenecer a uno de 3 tipos generales. Esta clasificación solo depende de los coeficientes de las derivadas de segundo orden. Naturalmente, suponemos que al menos unos de loscoeficientes A, B y C no es cero.
La ecuación en derivadas parciales lineal y de segundo orden

En donde A, B, C, D, E y F son constantes reales, es:
HIPERBOLICAS si B²- 4AC ˃ 0
PARABOLICA si B²- 4AC = 0
ELIPTICA si B²- 4AC ˂ 0

EJEMPLO:
Clasifique las siguientes ecuaciones:
a) b) ; c)
Sol:
a) Escribimos esta ecuación como: e identificamos los coeficientes: A= 3, B= 0 yC= 0. En vista de q B² - 4AC=0, la ecuación es parabólica.
b) Re arreglamos la ecuación y vemos que A= 1, B = 0,C = -1 Y B²-4AC=-4 (1) (-1) ˃0. La ecuación es hiperbólica.
c) Con A= 1, B= 0, C= 1, entonces B² - 4AC=-4 (1) (1) ˂ 0. La ecuación es elíptica.

2.- ECUACIONES DE TIPO ELÍPTICAS
Las que no tienen derivadas con respecto al tiempo son elípticas.

EJEMPLO: Laplace elípticaEsta es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.
3.- ECUACIONES DE TIPO HIPERBÓLICAS
Las ecuaciones con segunda derivada con respecto al tiempo son usualmente hiperbólicas.
EJEMPLO: Onda hiperbólica

Es la ecuación de onda unidimensional, que describe fenómenos de tipo oscilatorio y es de segundo orden, lineal, homogénea y decoeficientes constantes.
4.- ECUACIONES DE TIPO PARABÓLICAS
Son las que tienen primera derivada con respecto al tiempo se hacen llamar parabólicas
EJEMPLO: Difusión parabólicas
Es la ecuación unidimensional de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

5.- SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN (SOLUCIONES GENERALES Y SOLUCIONESPARTICULARES POR SEPARACIÓN DE VARIABLES)
El método de separación de variables. Cuando se busca una solución particular en forma de un producto de una función d y, como:
U (x, y) = X(x) Y(y), a veces es posible convertir una ecuación en derivadas parciales, lineal con dos variables en dos ecuaciones diferentes ordinarias. Para hacerlo notemos:

y que donde la “prima” denota...