Transformada De Laplace

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Transformada de Laplace

17/11/99

Capítulo 4: Transformada de Laplace 1

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Transformada de Laplace
Ì

Sedefine la Transformada de∞Laplace de la señal x(t)
X ( s) = L{x (t )} =
x

x

x

La cantidad compleja s=σ+jω. De esta forma se generaliza el concepto de frecuencia en la Transformada de Fourier.Se hace notar que el límite inferior de la integral es 0, lo cual proporciona una misma Transformada para señales causales ya que x(t) y x(t)u(t) son iguales. La Transformada de Laplace existe si laintegral que la define es finita. Para ello se necesita que los valores de σ sean unos concretos, lo que define una región de convergencia de la Transformada de Laplace.

0−

∫ x (t )exp(− st )dtÌ

Con la Transformada de Laplace se generaliza el concepto de función de Transferencia de un sistema a aquellos cuyas condiciones iniciales son no nulas.
Capítulo 4: Transformada de Laplace 217/11/99

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Transformada de Laplace
Ì

Transformada Inversa de Laplace Propiedades
Superposicion × − exp × − cos × − sen Escalado

1 σ + j∞ x( t ) = ∫σ− j∞ X ( s )exp( − st )ds 2πj
L{αx (t ) + βy(t )} = αX (ω ) + βY (ω ) L{exp( −αt ) x (t )} = X ( s + α ) L{cos(αt ) x (t )} = 1 [ X (s + jα ) + X (s − jα )] 2 1 L{sin(αt ) x (t )} = j [ X ( s + jα )− X ( s − jα )] 2 s 1   α >0 L{x (αt )} = X   α α

Ì

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Capítulo 4: Transformada de Laplace 3

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Transformada de Laplace
ÌPropiedades (Continuación)
Desplazamiento ×-t L{x (t − α )u(t − α )} = exp( − sα ) X ( s ) dX ( s) ds n n n d X ( s) L{t x (t )} = ( −1) ds n L{x ′(t )} = sX ( s) − x ( 0 − ) L{tx (t )} = −

α >0

DerivadaL{x n (t )} = s n X ( s) − s n −1 x (0 − )−− x n −1 (0 − ) Integral t  X ( s) A[ x (t )]( −∞,0) L ∫ x (t )dt  = + s s −∞ 

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Capítulo 4: Transformada de Laplace 4

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