Transformadas

Transformada de Laplace

CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

Transformada de Laplace
f(t) función temporal f(t) = 0 para t < 0
L[f ( t )] = F(s) = ∫ f ( t )e −st dt
0 ∞

f(t) t

s = σ + jω variable compleja de Laplace

si f(t) = g ( t ) L[f ( t )] = L[g ( t )] F(s) = G (s)

Cambio de variable t ⇒ s

CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006Transformada de Laplace
•La Transformada de Laplace es un método operacional que puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. •Transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas de una variable compleja s. Si la ecuación algebraica se resuelve en s, se puede encontrar la solución de la ecuación diferencial (Transformada inversa de Laplace) utilizando una tabla detransformadas, o bien mediante la técnica de expansión en fracciones parciales.
CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

Transformada de Laplace
si f(t) = g ( t ) L[f ( t )] = L[g ( t )] F(s) = G (s)

Cambio de variable t ⇒ s

Resolución del problema en el dominio s X(s) Interpretación y expresión de la solución en el dominio t
x ( t ) = L−1 [X (s ) ] =
j∞

− j∞

X (s )est ds ∫

Cambio de variable s ⇒ t

CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

Transformada de Laplace
Dominio temporal
PASO 1 Ec.Dif.Ord. Cond. Inic.

Dominio de Laplace

Tomar £ (TABLA)

PASO 2

Resolver Y(s)=N(s) / D(s)

PASO 3

Factorizar D(s)
PASO 4

Descomponer en fracciones simples

Solución y (t)

Tomar £-1 (TABLA)

CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes,Eva Portillo, 2006

Propiedades de la T. Laplace (I)
L[f ( t )] = F(s) = ∫ f ( t )e −st dt
0 ∞

• Linealidad

L[af(t) + bg(t)] = aF(s) + bG(s)
• Diferenciación en el dominio del tiempo

 df(t)  L  = sF(s) − f(0)  dt 

 d2f(t)  df(0) 2 L = s F(s) − sf(0) − 2  dt  dt   

• Integración en el dominio del tiempo

 F(s) f( −1) (0 + )  t L  f(t)dt = − s s  0 

∫CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

Propiedades de la T. Laplace (II)
• Desplazamiento en el tiempo

[f(t- d)]= e- sdF(s) L
t →0 s →∞

• Teorema del valor inicial

lim f(t) = lim sF(s)
• Teorema del valor final

lim f(t) = lim sF(s)
t→∞ s→0

NOTA: Este teorema sólo es válido si “s F(s)” no tiene polos sobre el eje imaginario o con parte real positiva. Esválido solamente si, existe lim f (t )
t →∞

•Teorema de convolución

∞ f(t)g ( t- τ)dτ = F(s)G (s) L∫  0 
CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

Propiedades de la T. Laplace (III)
•Transformación de variables. Cambio de escala
L[f(t/α )] = αF(αs)
1 F(s/α ) L[f(αt )] =

α : Constante positiva

α • Traslación en el campo complejo

L[f (t)] = F(s) 1

y

L[f (t)]= F(s ± α ) 2

α : Constante
f (t) = e mαt f (t) 2 1
• Diferenciación en el campo complejo

L[tf(t)] = −

dF(s) ds

CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

Propiedades I
L[f ( t )] = F(s) = ∫ f ( t )e −st dt
0 ∞

L[af ( t ) + bg ( t )] = aF(s) + bG (s) L[af ( t ) + bg ( t )] = ∫ [af ( t ) + bg ( t )]e dt = a ∫ f ( t )e dt + b ∫ g ( t )e −st dt = aF(s) + bG (s)
−st−st 0 0 0 ∞ ∞ ∞

 df ( t )  L  = sF(s) − f (0)  dt 

∫ u dv = uv − ∫ v du
∞

df ( t ) −st  df ( t )  =∫ L e dt   dt  0 dt df ( t ) dt u = e −st ⇒ v = f ( t ) du = −se −st dt dv = dt

∞

df ( t ) −st  df ( t )  L =∫ e dt = e −st f ( t )  dt  0 dt 

[

] + ∫ f (t )se
0 0

∞

∞

−st

dt = −f (0) + sF(s)

CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo,2006

Propiedades II
L[f ( t − d )] = e − sd F(s) L[f ( t − d )] = ∫ f ( t − d )e −st dt
0 ∞ ∞

t − d = τ t = 0 ⇒ τ = − d; t = ∞ ⇒ τ = ∞ d τ = ∫ f ( τ) e
0 ∞ −sd

∫ f (t − d)e dt = ∫ f (τ)e
−st 0 −d

∞

−s ( τ + d )

e dτ = e

− sτ

−sd

∞

f (τ)e −sτ dτ = e −sd F(s) ∫
0

lim f ( t ) = lim sF(s)
t →∞ s→0 ∞

sF(s) = ∫

∞

d f ( t ) −st e dt + f (0) dt 0
∞

d f...