Transformadaz

Transformada Z
Ejemplos Ejemplos de cálculo
1. Transformada Z.
1.1. Calcular la transformada Z de x[n], por definición, indicando la región de convergencia

2.

Antitransformada Z.

2.1.Determinar la secuencia unilateral derecha x[n] calculando la antitransformada de X(z) 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3.
X( z ) =

Utilizando la propiedad de diferenciación en el dominio Z. Por desarrollo enseries de potencias. Por expansión en serie de z± mediante división decreciente de polinomios.
1 1    1 − z −1    2  
2
1

π  x n  = cos  n u [n ]     2 
Solución: Por definiciónX (z ) = =
∞

n = −∞

∑ x[n]z − n =
j

∞

∞ e π  ∑ cos 2 n u[n ]z − n = ∑   n = −∞ n =0 ∞ ∞ −j

j

π
2

n

+e 2

−j

π
2

n

z−n = = z
−1

Solución: 2.1.1.Utilizando una función auxiliar W(z) con W (z)=X(z)

2

1 ∑e 2 n =0

π
2

n

z −n +

1 ∑e 2 n =0

π
2

n

z −n =

1 2

1 1− e
j

π
2

+ z
−1

1 2

1 1− e
−j

π
21 1 + z −2

W (z) =
; z >1

Z 1  1 ↔ w [n ] =   u [n ] 1 −1   2 1 − z    2  

n

1.2. Calcular la transformada Z de las secuencias utilizando las propiedades

por propiedad dediferenciación en la frecuencia
−z ∂W ( z ) 1 −1 1  Z = z 1 − z −1  ↔ nw [n ] =   ∂z 2 2  
−2

π  x 1[n ] = cos (n − 3 )u [n − 3] 2 

 π  x 2[n ] = cos− n u [− n ]  2 

1 π  x 3[n ] =   cos  n u[n ] 4 2 

n

 1 n   u [n ] 2

n

Solución: Utilizando la propiedad de desplazamiento en el tiempo

Si a la función anterior la llamamosV(z)=–z∂W(z)/∂z, entonces X(z) puede escribirse en la forma X(z)=2zV(z), y por propiedad del desplazamiento en el tiempo
Z  1 X ( z ) = 2zV (z ) ↔ x [n ] = 2v [n + 1] = 2[n + 1]  2 n +1

X 1(z ) =

z −3 1+ z−2

; 1< z < ∞

u [n + 1]

Utilizando la propiedad de reflexión
X 2(z ) = 1 1 + z2 ; z 2, h[n]=h[n-3]. Entonces la respuesta impulsiva puede expresarse en forma recursiva

h[n] =...