Trasformación lineal

Trasformación lineal
¿Qué es una transformación lineal?
Una función T: V ® W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W) 
se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V, 
k Î  K (K es el cuerpo de escalares) se tiene:

T (a + b) = T (a) + T (b)

T (k a) = k T (a)
Ejemplo 1. A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente transformación:

T:R2 ® R3 / " x Î  R2 : T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2, x2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿ " x, y Î  R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?
x = (x1, x2)
y = (y1, y2) 
x + y = (x1 + y1, x2 + y2) 

T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 + y2) =
                                           = (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 - y2, y2) =T (x) + T (y)

b) ¿ " x Î  R2, " k Î  R : T (k x) = k T (x) ?

T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, k x1 - k x2, k x2) = 
                                = k (x1 + x2, x1 - x2, x2) =
                                = k T (x)

Se verifican las dos condiciones de la definición, entonces la transformación es lineal. 

Ejemplo 2. Analicemos ahora si T es lineal, siendoT: R2 ® R2 / " x Î  R2 : T ((x1, x2)) = (x2, x1 + 2)
Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿ " x, y Î  R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x1, x2)
y = (y1, y2) 
x + y = (x1 + y1, x2 + y2) 

T (x) + T (y)  = (x2, x1 + 2) + (y2, y1 + 2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 4)
T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 2) ¹ T (x) + T (y)                                           
No se verifica esta condición, entonces la transformación no es lineal.

REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACION LINEAL.
Si  T  es una  función  de    en      definida  por    en donde   A  es una matriz de , y dado que  la condición    corresponde  a la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices      y la condición    es también una propiedad de la multiplicación dematrices   .   Entonces  T es una transformación lineal.   Y se puede concluir que:
 
   
Toda matriz  A de    define una transformación lineal de    en    .
Ahora consideremos  una transformación lineal  T  de   en    ; si aplicamos esta transformación a los vectores base de  , obtenemos los  siguientes vectores:
                                   
 
 Si construimos una matriz   AT  cuyas columnas sean losvectores   ;   AT   define una transformación lineal de   en         tal que  si
                                              para   i = 1, 2, . . . , n.
Entonces
                          
y por lo tanto     para   i = 1, 2, . . . , n.   Concluimos que  T  y la transformación  AT  ,   son la misma, porque tienen el mismo efecto sobre los vectores base.
AT   es la matriz cuyas  columnas son losvectores  .
 

La matriz  AT   se llama  matriz de transformación de  T   o  representación matricial de  T.
Si se usan bases diferentes, las matrices de transformación que se obtendrán serán diferentes.
 
Ejemplo 1.

 Encuentre la representación matricial de la transformación lineal  T  de  en   definida por
                                  
Aplicamos  T  a los vectores base de :              ,    ,    ,    
 
Entonces la matriz  AT   es
                                    .
 Ejemplo  2.
 
En el ejemplo 1 se utilizó la base canónica para construir la matriz de representación de la transformación lineal

ahora se utilizará la base .
 
,    ,    ,    
 
Entonces la nueva matriz de transformación queda:

 Ejemplo  3.
 
Encuentre la representación matricial  AT  de latransformación lineal   T   definida  por  
                                             
Aplicamos la transformación a los vectores base  de  
                          
Entonces la matriz de transformación   es     .


En esta lección se muestra que el conjunto de todas las transformaciones lineales entre dos -espacios  y  es un -espacio. Se verá...