Trasformada

ANALISIS DE FOURIER PARA EL TRATAMIENTO DE SEÑALES

Julio MEDINA XII Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones EPN- Quito, Ecuador- 28 junio a 2 julio 2010
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1. INTRODUCCION
La noción de señal es bastante amplia y aparece en diferentes situaciones en las cuales ciertas cantidades varían en el tiempo o el espacio de una magnitud física o de otra naturaleza. Por tanto está ligada alconcepto de función. El Procesamiento de Señales es una disciplina de las ciencias de la Ingeniería que desarrolla las técnicas de procesamiento, análisis e interpretación de señales. Entre las operaciones posibles con las señales tenemos control, filtrado, compresión de datos, deconvolución, predicción, etc. Se pueden procesar señales analógicas (representadas por funciones continuas) o señalesdigitales (dadas por funciones discretas). En el procesamiento de señales existen diferentes ramas dependiendo de la naturaleza de las señales consideradas (audio, voz, imagen, video). El procesamiento de señales puede tener diferentes objetivos: detección de una señal, estimación de los valores de una señal, codificación, compresión para su almacenamiento y transmisión. Sus aplicaciones son amplias entelecomunicaciones, audio, video, imagen (médica, satelital), geofísica. La Teoría de Señales es la rama matemática que estudia las señales y los sistemas que los transmiten e involucra herramientas del Análisis armónico (generalización del Análisis de Fourier), de los espacios vectoriales, de los procesos estocásticos, entre otras. En este documento se presentan algunos elementos del Análisis deFourier relacionados con el estudio y procesamiento de señales. Dos son los instrumentos fundamentales: las series de Fourier (que permiten la representación de una señal como superposición de ondas de base llamadas armónicos) y la transformada de Fourier, tanto en su versión continua como en su versión discreta.

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En la sección 2 se aborda los conceptos básicos relativos a las señales. Enlas dos siguientes secciones se tratan las series de Fourier y las transformadas de Fourier, respectivamente. La “función” delta de Dirac es el tema de la quinta parte. Enseguida se aborda la transformada discreta de Fourier y la transformada . La sección 7 concierne a ciertas operaciones del procesamiento de señales en los cuales se aplica el Análisis de Fourier (espectro, filtros, muestreo)

2.CONCEPTOS BASICOS
2.1 . Definición de señal Utilizaremos como definición de señal: la variación en el tiempo o el espacio de una magnitud física o de otra naturaleza. Por ejemplo:  La intensidad de la corriente eléctrica  El nivel de gris de los puntos de una imagen  Un electrocardiograma  Un sonido  La evolución del índice de la bolsa de valores La representación matemática (el modelomatemático) de una señal corresponde a la noción de función (de una o varias variables: tiempo, espacio, etc.…). Sin embargo las distribuciones (o funciones generalizadas) constituyen un modelo más general y satisfactorio.

2.2. Tipos de señales. Las señales que representaremos por , donde es la variable independiente, la variable dependiente, admiten diferentes caracterizaciones:
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a) Según lapresencia o no de elementos probabilísticos:  Estocástica  Determinística (consideradas en este documento) b) Según la variable independiente  Continua (Analógica) si la variable es continua  Discreta (Digital) si solo está definida para ciertos valores determinados: En muchos casos una señal discreta se obtiene por discretización de una señal analógica, generalmente mediante un convertidor,pero algunas señales son discretas por su propia naturaleza: edades de una población, estado en el tiempo de una válvula (abierto o cerrado), etc. c) Según la periodicidad  Periódica si se repite cada cierto intervalo de la variable independiente, dicho intervalo se dice período:  No periódica en el caso contrario

La frecuencia es una medida para indicar el número de repeticiones de...