traslacion

Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según elvector. Dado el carácter de isometría para cualesquiera puntos P y Q se cumple la siguiente identidad entre distancias:

d(P,Q) = d(T(P),T(Q)) = d(P',Q')\;
Más aún se cumple que:\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{P'Q'}
Notas:
La figura trasladada es idéntica a la figura inicial.
La figura trasladada conserva la orientación que la figura original.Puesto que una traslación es un casoparticular de transformación afín pero no una transformación lineal, generalmente se usan coordenadas homogéneas para representar la traslación mediante una matriz y poder así expresarla como unatransformación lineal sobre un espacio de dimensión superior.
Así un vector tridimensional w = (wx, wy, wz) puede ser reescrito usando cuatro coordenadas homogéneas comow = (wx, wy, wz, 1). En esascondiciones una traslación puede ser representada por una matriz como:

T_{\mathbf{v}} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & v_x \\
0 & 1 & 0 & v_y \\
0 & 0 & 1 & v_z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
Yaque como puede verse, la multiplicación de esta matriz por la representación en coordenadas homogéneas de un vector da lugar al resultado esperado:

T_{\mathbf{v}} \mathbf{p} =
\begin{bmatrix}
1 &0 & 0 & v_x \\
0 & 1 & 0 & v_y \\
0 & 0 & 1 & v_z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
p_x \\ p_y \\ p_z \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
p_x + v_x \\ p_y + v_y \\ p_z + v_z \\1
\end{bmatrix}
= \mathbf{p} + \mathbf{v} . \!
La inversa de una matriz de traslación puede obtenerse cambiando el signo de la dirección del vector desplazamiento

T^{-1}_{\mathbf{v}} =T_{-\mathbf{v}} . \!
Similarmente, el producto de dos matrices de traslación viene dado por:

T_{\mathbf{u}}T_{\mathbf{v}} = T_{\mathbf{u}+\mathbf{v}} . \!
Debido a que la suma de vectores es...