Trayectorias De Proyectiles

Trabajo Final: Defensa Nacional
Trayectoria de Proyectiles












Integrantes: Cindy Concepción López
Raydel Rodríguez Estévez





Introducción
Este trabajo tributa a la asignatura Defensa Nacional y como base para su realización hemos tratado de vincular el tema de nuestro proyecto de Diploma (Curvas Maravillosas) con dicha asignatura, por tanto nuestra investigación se basa en lascurvas que describen las trayectorias de los proyectiles según sean las variables que intervengan, graficando dichas trayectorias y analizando las ecuaciones que las describen.














Desarrollo
Movimiento de proyectiles
Cualquiera que haya observado una pelota de béisbol en movimiento (o cualquier objeto lanzado al aire) ha observado el movimiento de proyectiles. Esta forma muy común demovimiento es sorprendentemente simple de analizar si se hacen las siguientes dos suposiciones:
1.      La aceleración de caída libre, g, es constante en todo el intervalo de movimiento y está dirigida hacia abajo.
2.      El efecto de la resistencia del aire puede ignorarse.
Con estas suposiciones, se encuentra que la curva que describe un proyectil, y que se conoce como su trayectoria, siempre esuna parábola.
Si elegimos un sistema de coordenadas tal que el eje y apunte en dirección vertical y positiva hacia arriba, entonces ay = -g, y ax = 0.
Supóngase que en t = 0, un proyectil es lanzado desde la posición inicial dada por el vector (x0, y0) con una velocidad inicial cuya magnitud es v0 y formando un ángulo θ0 con la horizontal. Las ecuaciones para la velocidad y la posición del proyectilpara cualquier tiempo t son:
[pic]                          (0.1)
[pic]                       (0.2)
[pic]                  (0.3)
[pic]    (0.4)

En la primera de estas cuatro ecuaciones, se ve que la velocidad horizontal permanece constante debido a que en esa dirección la aceleración es cero. En cambio, la velocidad vertical primeramente es positiva (si el proyectil se lanza haciaarriba) y comienza a disminuir hasta que se hace cero y luego cambia de dirección apuntando hacia abajo. Véase la figura 1, donde se muestra el caso de un proyectil que es lanzado desde el origen con velocidad inicial de 50 m/s y un ángulo de disparo de 60o.
 
|[pic] |
|Figura 1.|


Si se elimina el tiempo t de las dos últimas ecuaciones se encuentra la ecuación del proyectil en el plano
                 [pic]              (0.5)
la cual es válida para  ángulos de disparo en el intervalo [pic]. Esta expresión es de la forma y = c + ax + bx2, que representa la ecuación de una parábola. Cuando x0 = y0 = 0 dicha parábolapasa por el origen. Nótese que la trayectoria está completamente especificada si se conocen x0, y0, v0 y θ0.
Obsérvese que el movimiento de una partícula en dos dimensiones puede considerarse como la superposición del desplazamiento debido a la velocidad inicial, v0t, y el término [pic], debido a la gravedad. En otras palabras, si no hubiera aceleración gravitacional, la partícula continuaríamoviéndose a lo largo de una trayectoria recta en la dirección de v0. En consecuencia, la distancia vertical [pic], a través de la cual la partícula "cae" de la línea de la trayectoria recta, es la misma distancia que recorrería un cuerpo que cae libremente durante el mismo intervalo de tiempo. Véase la figura 2.
|[pic]|
| Figura 2. |

Concluimos que el movimiento de proyectiles es la superposición de dos movimientos:  
•        Un movimiento con velocidad constante en la dirección horizontal y
•        Un movimiento de una partícula que cae libremente en la dirección vertical bajo aceleración...