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Abaco circular de Impedancias (Abaco de Smith) Dada una magnitud compleja z = r+jx, si se define una variable Γ=Γ(z) también compleja Γ=u+jv, se dice que Γ transforma (o mapea, de "mapping") cada valor de z, definido en su plano complejo r-x en valores diferentes, definidos por la ecuación de transformación, en el plano u-v.

jx jv Γ1 =u1+jv1 z1=r1+jx1

Plano z z=r+jx

r

Plano ΓΓ(z)=u+jv

u

La transformación Γ = La transformación: Γ =

z −1 , particularidades z +1

z −1 , usada para generar el ábaco circular de impedancias, tiene las z +1

siguientes propiedades: a) Por cada valor de z existe un valor de G y viceversa (es una transformación biunívoca), la transformación inversa es:
z=

b) Se conservan las formas infinesimales en los planos z y Γ (es unatransformación conformal) c) Suponer que z=r+j0, con r variando desde 0 a ∞, es decir, recorriendo el eje real positivo del plano z. Aplicando la transformación Γ = (transforma) entre –1+j0 y +1+j0 del plano Γ.
r −1 , se ve que todo el eje real positivo de z se refleja r +1

1+ Γ 1− Γ

0 : Plano z

z 0 1 ∞

Γ -1 0 +1

-1 z=0

0 z=+∞ Plano Γ

d) Idem que (c), pero con z=0+jx, con x variandodesde -∞ a +∞, se tiene:
Γ=
jx − 1 2x = 1∠ arctan 2 = 1∠π − 2. arctan( x ) jx + 1 x −1
z=+j1 +j1 z +j1 -j∞ -j1 j0 j1 +j∞ Γ 1 1/-90 -1 1/90 1 jv

FG H

IJ K

jx

z=j0 -1

z=± j∞ u 1

0

r

-j1 -j1 Plano z Plano Γ z=-j1

Al recorrer la variable z el eje imaginario desde -∞ a +∞, Γ recorre un círculo de radio 1, centrado en 0. Surge de las propiedades (c) y (d), que todo el semiplanoinfinito con parte real positiva del plano z se mapea dentro de un círculo de radio 1 en el plano Γ.
jv +j1 Frontera establecida por el eje imaginario de z Cuadrantes I y II para x>0 -1 +1 u Plano Γ Variables z con parte Re0 se representa en el interior del círculo |Γ|=1

Cuadrantes III y IV para x>0

-j1

e) Suponer que z=r+jx, con r constante y x variable entre -∞ y +∞

Se puededemostrar que, en éste caso, el lugar geométrico de Γ es un círculo con los siguientes parámetros: Radio:
ρr =
1 1+ r

Centro: C r =

FG r , j 0IJ H1+ r K

El círculo r=constante es tangente al círculo |Γ |=1 (transformación del eje imaginario de z) en Γ=1+j0
+j1

z r - j∞ r±j0 r + j∞

Γ +1 (r-1)/(r+1) +1

Círculo r = cte.

ρr

jx

-1 Cr z=r+j0

+1

z=r ± j∞ jx varía de -j∞ a+j∞ r jx varía de -j∞ a +j∞ -j1

z=r+j0

f) Idem que (e), z=r+jx pero manteniendo x constante y r variable entre 0 y +∞. En éste caso, el lugar geométrico de Γ es un arco de círculo, interno al correspondiente a |Γ|=1, con los siguientes parámetros : Radio:
ρx =

y Centro: C x

FG IJ H K F 1I = G 1, j J H xK
ϕ 1 = tan 2 x

donde,

ϕ = π − 2 arctan( x )

El arco de círculo x=cte. estangente al eje real u en Γ=1+j0

Cx

z=0+jx z 0+jx ∞+jx Γ 1/180-2.arctan(x) 1 r varía de 0 a +j∞ x=constante

+j1 ρx

jx r varía de 0 a +j∞ x=constante z= r + jx(const.) z= 0+jx r

-1

180-2.arctan(x)

+1

z=∞+jx

-j1

El Abaco de Smith El Abaco de Smith es un diagrama circular en el que se representa impedancias con parte real positiva (semiplano derecho) en el plano Γ . Esuna herramienta que simplifica un número grande de problemas y, además, es una forma de representación usual de datos de circuitos de RF. De acuerdo a lo visto mas arriba, se debe notar que en el ábaco coexisten dos nomeclaturas: (a) La correspondiente al plano Γ : el círculo externo pasa por los puntos +1, -1, 1+j, 1-j y, obviamente, es de radio 1. (b) La correspondiente al plano z, dada por losdatos de escala de los círculos de r y x constante En el dibujo simplificado de abajo, el punto P representa una impedancia de r1 + jx1 y también Γ=Γ1exp(φ)

r = r1 jx = +jx 1

+j1

P φ Γ = Γ1 0

r=0

:

-j1
Z − R0 , donde Z es una impedancia (ohms) y R0 Z + R0

Normalmente, la transformación usada es Γ =
Z −1 Z − R0 R0 z −1 = Γ= = Z Z + R0 z +1 +1 R0

una constante real...