Trigonometria Y Geometria Analítica

PARÁBOLA
DEFINICIÓN. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una
recta fija y de un punto fijo. La recta fija se llama directriz y el punto fijo se llama
foco. Observa la figura:

Las ecuaciones de la parábola tienen un término cuadráticos y uno o dos términos
lineales los cuales varían de acuerdo con el tipo de la parábola. La parábola puede ser
horizontal overtical; con el centro en el origen o fuera de él. En el presente curso
estudiaremos solamente las parábolas con centro en el origen. El siguiente cuadro te
muestra los tipos de ecuaciones según la posición de la parábola.
PARÁBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN.
POSICIÓN
ECUACIÓN
HORIZONTAL DERECHA

Y 2 = 4 pX

HORIZONTAL IZQUIERDA

Y 2 = − 4 pX

VERTICAL HACIA ARRIBA

X 2 = 4 pY

VERTICALHACIA ABAJO

X 2 = − 4 pY

Elaborado por :IQI. Juan A. Trejo Peña
LE. Enrique Rodríguez Tut

1

EJERCICIOS RESUELTOS
1.

Escribir la ecuación de la parábola con vértice en el origen que satisface las condiciones siguientes:
a) Foco en (3,0).
8
6
4
2
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
--4
-6

2

2

y = 4 (3) x

y –12 x = 0

b) Foco en (0,–3).

Solución:8
6
4
2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
--4
-6

2

2

x = - 4(3)y

x + 12 y = 0

c) La directriz es x + 4 = 0.

Solución:

8
6
4
2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
--4
-6

x+4=0
p=4

x = -4
2

y = 4(4) x

2

y – 16 x = 0

Elaborado por :IQI. Juan A. Trejo Peña
LE. Enrique Rodríguez Tut

2

d) La directriz es y –4 = 0.Solución:

8
6
4
2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
--4

2

x = -4(4) y

-6

2

x +16y=0

e) La longitud del lado recto es 10 y la parábola abre hacia la derecha.

Solución:

8
6
4
2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
--4
-6

LLR = 4p

p = 10/4

2

y = 4 (5/2) x

2

y = 10 x

2

y –10 x = 0

f) La longitud del L.R. es 8y la parábola abre hacia arriba

Solución:

8
6
4
2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
--4
-6

LLR = 4p

p=2
2
x = 4(2) y

x2 –8y = 0

g) El foco esta en el eje X y la parábola pasa por el punto (3,4)

Solución:

8
6
4
2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
--4
-6

2

y = 4px
16 = 4p(3)
p = 16/12
y2 = 4 (4/3)x
3y2 – 16 x = 0
Elaboradopor :IQI. Juan A. Trejo Peña
LE. Enrique Rodríguez Tut

3

h) La parábola abre hacia la izquierda y pasa por el punto (–3,4)

Solución:

8
6
4
2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
--4
-6

y2 = -4px

16 = -4p(-3)
y = -4 (4/3)x

p = 4/3
3 y2 + 16 x = 0

2

2.

En los siguientes incisos hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y lalongitud del
lado recto para cada una de las parábolas dadas:
2

a) y =4x

2

2

b) x = –10y

c) 2y =7x

2

d) y +3x=0

Soluciones:
2

a) y =4x : Es una parábola horizontal positiva con:

V (0,0) ; F ( 1,0) ; Directriz x+1 = 0 y LLR = 4
8
6
4
2
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
--4
-6

2

b) x = –10y Es una parábola vertical hacia abajo con

V (0,0); F( 0,-5/2); Directriz 2y-5 =0 y LLR = 10
8
6
4
2
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
--4
-6

Elaborado por :IQI. Juan A. Trejo Peña
LE. Enrique Rodríguez Tut

4

2

e) x –4y=0

2

f) 2x +3y=0

2

c) 2y =7x : Es una parábola horizontal positiva con:

V (0,0); F(7/8,0) ; Directriz 8x +7=0 y LLR = 7/2
8
6
4
2
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
--4
-62

d) y +3x=0

Es una parábola horizontal negativa con:

V(0,0); F(-3/4,0); Directriz 4x– 3 =0 y LLR= 3
8
6
4
2
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
--4
-6

2

e) x –4y=0 :Parábola vertical hacia arriba con:

V(0,0); F(0,1) ; Directriz y+1=0 y LLR = 4
8
6
4
2
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
--4
-6

f)

2

2x +3y=0: Es una parábola...