Algebra, trigonometría y geometría analítica

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1. De la siguiente función f(x)=xx2+ 1 determine:

a) Dominio b) Rango

Haciendo el análisis del ejercicio podemos determinar que el Dominio son todos los números reales positivos y negativos incluido el cero y lo podemos comprobar asignado diferentes valores a x así:

x | -5 | -2 | 0 | 1 | 4 |
f (x) | -526 | -25 | 0 | 12 | 417 |

Resolviendo cada uno:
* Para x=-5 f(x)=xx2+ 1f(x)=-5(-5)2+ 1
f(x)=-525+ 1 f(x)=-526 = -0.98

* Para x=-2 f(x)=xx2+ 1 f(x)=-2(-2)2+ 1
f(x)=-24+ 1 f(x)=-25 = -0.89

* Para x=0 f(x)=xx2+ 1 f(x)=0(0)2+ 1
f(x)=0 1 f(x)=0

* Para x=1 f(x)=xx2+ 1 f(x)=1(-1)2+ 1
f(x)=11+ 1 f(x)=12 0.71

* Para x=4 f(x)=xx2+ 1 f(x)=4(4)2+ 1

f(x)=416+ 1 f(x)=417 = 0.97

Podemos concluir que el rango son losnúmero reales mayores a -1 y menores a 1

DOMINIO: {XєR}
RANGO: { XєR / -1<X<1}

GRAFICAMOS:

Y
X


2. Dada las funciones f = x2+ 1 ; g = 2x – 1 + 3x2 Determine:

a) f + g b) f · g c) (g o f) d) (g o f)(1)

SOLUCION:

a) f + g (x2+ 1) + (2x – 1 + 3x2) x2+ 1 + 2x – 1 + 3x2 4x2+ 2x

b) f · g (x2+ 1) · (2x – 1 + 3x2) 2x3-x2+3x4+ 2x-1+ 3x2
3x4+ 2x3+2x2+2x-1

c) (g o f) g(f(x)) = 2(x2+ 1) – 1 + 3(x2+1)2 2x2 + 2 – 1 + 3 (x4+2x2+1)
2x2 + 1 + 3x4+6x2+3 3x4+ 8x2+ 4

d) (g o f)(1) g(f(x))=2(x2+ 1) – 1 + 3(x2+1)2 2((1)2+ 1) – 1 + 3((1)2+1)2
2 (1+1) – 1 + 3(1+1)2 2(2) – 1 + 3 (2)2 4 – 1 + 3(4)
4 – 1 + 12 15

3. Verifique las siguientes identidades:

a) 1 = tan2xsec2x + cos2x

Tenemos que:tan(x) = senxcosx y que sec(x) = 1cosx

Reemplazamos:

1 = sen2xcos2x1cosx + cos2x sen2xcos2xcos2x (1) + cos2x

sen2x1 + cos2x 1=sen2x+ cos2x

Como sen2x+ cos2x = 1 obtenemos la verificación:

1 = 1

b) x . cosβ+y . sen β2 + y . cosβ-x . sen β2 = x2 + y2

Primero resolvemos los paréntesis:

x2. cos2β+2xy senβcosβ+ y2. sen2β+y2. cos2β-2xy senβcosβ+x2. sen2β= x2 + y2

Quitamos Paréntesis:

x2. cos2β+2xy senβcosβ+ y2. sen2β+y2. cos2β-2xy senβcosβ+ x2. sen2β= x2 + y2

Ordenamos, primero las “x” y luego las “y” :

x2. cos2β+x2. sen2β+ y2. sen2β+y2. cos2β = x2 + y2

Sacamos factor común:

x2 (sen2β+cos2β)+y2(sen2β+cos2β) = x2 + y2

Aplicamos la identidad trigonométrica que dice: sen2β+cos2β=1 y reemplazamos:

x2 (1)+y2(1) = x2 +y2

Y obtenemos así la verificación:

x2 + y2 = x2 + y2

4. Un tren sale de una estación y viaja a 80 km/h en vía recta. Otro tren sale de la misma estación una hora más tarde, sobre otra vía que forma con la anterior un ángulo de 118°.Si el segundo tren viaja a 50 km/h. Hallar la distancia entre los dos trenes 2 horas después de la salida del primer tren.

A
B
C
118º
c = 160 Km
b= 50 Km
a = ? Km
ANALISIS DEL PROBLEMA:
A = Estación
B = Primer tren después de 2 horas. Como viaja a una velocidad de 80Km/h en dos horas habrá recorrido 160 Km
C = Segundo tren. Salió una hora después del primero a una velocidad de 50Km/h. En Una hora habrá recorrido 50Km.

a = Distancia CB es la que vamos a averiguar
b = Distancia AC es el recorrido del segundo tren
c = Distancia AB esel recorrido del primer tren

Para resolver el problema vamos a utilizar la Ley de Cosenos ya que conocemos dos lados y el ángulo.

La ley de cosenos dice que: a2= b2+ c2 - 2bc cosÂ

Reemplazamos: a2= (50)2+ (160)2 – 2(50)(160) cos118º
a2= 2500+ 25600 – 16000 (-0.469471562)
a2= 28100 + 7511.55
a2= 35611.55
a= 35611.55
a=188.7 Km
5. Encuentre el valor de x quesatisface las siguientes ecuaciones para ángulos entre 0°≤x≤360°

a) 3cos2x+ sen2x=2
Podemos reemplazar cos2x por (1- sen2x) así:
3 (1-sen2x)+ sen2x=2
3 - 3sen2x+ sen2x-2=0
-2sen2x+1=0
-2sen2x=-1 Multiplicamos por -1
2sen2x=1
sen2x= 12
senx= ±12
senx= ±12 Multiplicamos por 22 para quitar la raíz en el denominador
senx= 12 · 22 = ±22
Así obtenemos...
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