TSU INFORMATICA


9.2  Derivadas máximos y mínimos, crecimiento y decrecimiento


Cálculo de máximos y mínimos usando derivadas. De la derivada primera obtenemos el crecimiento y decrecimiento de una función y los posibles máximos y mínimos.





Ejercicios resueltos


Función polinómica


Observa los pasos y las aplicaciones de las derivadas para calcular el crecimiento y decrecimiento, losmáximos y mínimos de una función polinómica.












Función racional




Máximos
Si f y f' son derivables en a, a es unmáximo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0
Mínimos
Si f y f' son derivables en a, a es unmínimo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) > 0
Cálculo de los máximos y mínimos relativos
f(x) = x3 − 3x + 2
1. Hallamos laderivada primera y calculamos sus raíces.
f'(x) = 3x2 − 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)


Ejercicios
















































Problemas
Determinar a, b y c para que la función f(x) = x 3 + ax2 + bx + c tenga un máximo para x=−4, un mínimo, para x=0 y tome el valor 1 para x=1.
f(x) =x3 + ax2 + bx + c f′(x) = 3x2 + 2ax + b
1 = 1 + a + b + c a + b + c = 00 = 48 − 8a +b 8a − b = 48
0 = 0 − 0 + b b = 0
a = 6 b = 0 c = −6


Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tenga unmáximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).
f(x) = ax 3 +bx 2 +cx +df′(x) = 3ax 2 + 2bx + c
f(0) = 4 d = 4
f(2) = 0 8a + 4b + 2c = 0
f′(0) = 0 c = 0
f′(2) =0 12a + 4b + c = 0
a = 1 b = −3 c = 0 d = 4


Dada la función:

Calculaa, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.








Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx 2 + x tenga extremos en los puntos x1= 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?






Máximo absoluto
Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si laordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.
Mínimo absoluto
Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a = 0

b = 0
Máximo y mínimo relativo
Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.
Unafunción f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

a = 3.08     b = -3.08
 
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN

Sea f(x) una función y xo un punto del dominio.

DEFINICIÓN
La función f(x) presenta un máximo relativo en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:


La función f(x) presenta un mínimo relativo en xo ,cuando existe un entorno E(xo) tal que:

Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la menor (máximo - mínimo) de todas las imágenes “de los alrededores”. No se excluye que haya otros puntos "alejados" de xo cuya imagen sea mayor o menor que f(xo).
A los máximos y mínimos relativos se los llama extremos relativos o simplemente extremos. 

TEOREMA (CONDICIÓNNECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS) 
Sea  una función cuyo dominio es D=Dom(f) y xo un punto del dominio.



Demostración 

Nota
La recta tangente en un extremo es paralela al eje OX, luego la derivada (la pendiente de la recta tangente) es cero. 

Ejemplo: 
 
Los puntos que anulan la derivada son los candidatos a ser extremos, pero no puede asegurarse que lo sean. A estos puntos se...