Tutorial Mathematica Wolfram

Pr´ctica 1
a
Ecuaciones diferenciales de
primer orden
1.1.

Introducci´n
o

Para resolver una ecuaci´n diferencial en la forma
o
F (x, y, y ) = 0,

o bien

y = f (x, y)

(1.1)

el Mathematica dispone del comando DSolve, cuya estructura es
DSolve[eqn,y[t],t]

aunque hay que tener presente que en muchos casos no es posible obtener la
soluci´n.
o
Ejemplo 1.1.1 La ecuaci´ndiferencial
o
y + 2y = t

(1.2)

1
t
cuya soluci´n es: y(t) = − 4 + 2 + C e−2t , donde C es la constante arbitraria,
o
se obtiene con el Mathematica con la instrucci´n
o

In[]:= DSolve[y’[t]+2y[t]==t,y[t],t]

1

obteniendo, como soluci´n
o
1 t
Out[] := {{y[t] → − + + e−2t C[1]}}
4 2
donde C[1] es la constante arbitraria. Si hubiera m´s constantes arbitrarias
a
independientes´stas se denotar´n por C[2], C[3], etc.
e
a
Si el problema es de condiciones iniciales
y + 2y = t,

y(0) = 1

(1.3)

t
5
cuya soluci´n es: y(t) = − 1 + 2 + 4 e−2t , la cual se puede obtener con
o
4

In[]:= DSolve[{y’[t]+2y[t]==t,y[0]==1},y[t],t]

dando

1
Out[] := {{y[t] → e−2t (5 − e2t + 2e2t t)}}
4

Se puede comprobar es esta soluci´n es equivalente a la anterior.
o
Siqueremos utilizar en otras operaciones la soluci´n de la ecuaci´n difero
o
encial (obs´rvese que aparece una flecha y no un igual) es util utilizar la
e
´
instrucci´n Flatten
o
In[]:= resul=DSolve[{y’[t]+2y[t]==t,y[0]==1},y[t],t];
regla = Flatten[resul];
ys[t_] = y[t] /. regla

Podemos probar que es soluci´n de la ecuaci´n diferencial sin m´s que como
o
a
probar que satisface laecuaci´n (1.3)
o
In[]:= D[ys[t],t]+2ys[t]-t

y comprobando que da id´nticamente 0 (en algunos casos es necesario utilizar
e
la instrucci´n Simplify).
o
2

1.2.

Resoluci´n gr´fica de ecuaciones difereno
a
ciales

Dada una familia de curvas
G(x, y, C) = 0

(1.4)

en general, es posible obtener la ED cuya soluci´n es esta familia de curvas.
o
Para obtenerla hay que derivarrespecto de x y eliminar la constante C del
sistema de 2 ecuaciones.
Por otro lado, dada la ED, y = f (x, y), si en cada punto de una regi´n
o
del plano, P = (x, y), representamos un vector proporcional a la variaci´n con
o
la variable x, e.g. dP = (1, y ) = (1, f (x, y)), tendremos un campo vectorial
dx
que muestra la forma de las soluciones (por donde se mover´n las soluciones).
a
Se puedebuscar tambi´n aquellos puntos del plano que tienen la misma
e
pendiente, f (x, y) = m, para distintos valores de la constante m (isoclinas).
Ejemplo 1.2.1 La soluci´n de la ecuaci´n diferencial, y + 2y = t, hemos
o
o
1
t
−2t
visto que es: y(t) = − 4 + 2 + C e . Esta familia de soluciones la podemos
dibujar con la siguiente instrucci´n
o
In[]:= z[t_,C_]= - 1/4 + t/2 + C E^(-2 t);
p1 =Plot[Evaluate[Table[z[t, C], {C, -2, 2, 0.5}]],
{t, -1, 2},PlotRange -> {-2, 2}]
obteniendo la figura 1.1. En la figura se puede observar el comportamiento
asint´tico de la soluci´n
o
o
Por otro lado, podemos dibujar el campo de vectores asociado a la ecuaci´n
o
diferencial para comprobar que se corresponde con la soluci´n obtenida. Para
o
ello, primero debemos cargar el paquete PlotField.In[]:= (1&),AxesOrigin -> {0,0}]
obteniendo el resultado de la figura 1.1 (derecha). Para comprobar mejor que
se corresponden, podemos dibujarlas en una misma figura
In[]:= Show[p1,p2]

3

2
1.5
1
0.5
-1

-0.5

1

0.5

1.5

2

-0.5
-1
-1.5

,

-2

2
1.5
1
0.5
-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-0.5
-1
-1.5
-2

Figura 1.1: Izquierda superior: Familia desoluciones de la ecuaci´n diferencial
o
(1.2). Derecha superior: Campo de vectores de la misma ecuaci´n diferencial.
o
Inferior: combinaci´n de ambas.
o
obteniendo el resultado de la figura 1.1.
Es posible que adem´s de la soluci´n general de la ecuaci´n diferencial,
a
o
o
G(x, y, C) = 0, se obtenga una soluci´n singular (una soluci´n particular
o
o
que no se obtiene a partir de la...