U2 INFERENCIA ESTADISTICA 2015 2
Páginas: 34 (8328 palabras)
Publicado: 21 de septiembre de 2015
PRUEBAS DE HIPÓTESIS E INTERVALOS DE CONFIANZA
2.1 TEORIA DE ESTIMACIÓN.
La Estimación Puntual, consiste en encontrar estadísticos y sus propiedades para hacer la mejor aproximación numérica de un parámetro. Hemos visto que los estadísticos muéstrales más comunes como la media , la varianza S2 sólo dan un valor numérico posible del parámetro correspondiente μ y σ2 respectivamente, es deciry S2 son estimadores puntuales de μ y σ2. Sin embargo, en la vida real, en el proceso de toma de decisiones, es deseable contar con un rango de posibles valores que pueden tomar estos parámetros, es decir un intervalo.
Dada la información de una muestra aleatoria, La Estimación por Intervalos de parámetros, consiste en encontrar estadísticos que representen los límites inferior y superior de losposibles valores que éstos pueden tomar con un nivel de probabilidad establecido antes de sacar la muestra. Para lograr calcular dichos límites, es necesario conocer la distribución de probabilidad de los estimadores o funciones de éstos y así establecer el nivel de probabilidad, la cual es convertida en el ámbito de confianza en el momento que los estadísticos que representan los límites sonreemplazados con los valores muestrales.
2.2 INFERENCIA SOBRE μ, CUANDO σ ES CONOCIDA.
2.2.1 Intervalo de confianza para μ, cuando σ es conocida.
Considere una variable aleatoria X, con una muestra aleatoria de tamaño n, el valor de (media muestral) se puede usar para estimar μ (que puede ser desconocido) por ejemplo con un nivel de confianza de 95% de la siguiente manera:
O su equivalente:Donde el margen de error o simplemente error E, es la diferencia entre la media poblacional y la media muestral, es decir: E =
A se le llama intervalo de confianza aleatorio de μ. En la siguiente figura se muestra que algunos intervalos [] contendrá a 𝛍. Sin embargo habrá algunos intervalos que no contendrán a la verdadera μ, entonces, es conveniente especificar con una cierta confianza,cual intervalo si contiene a μ; este nivel de confianza ó 𝛄 (gamma) puede ser por ejemplo una probabilidad de 0.95, por lo tanto a la diferencia a uno (0.05) se le conoce como nivel de error o α (alfa), es decir 1-α =γ ó 1-γ=α, por ejemplo 1-0.05 =0.95 ó 1-0.95=0.05 respectivamente.
Ejemplo 1. Supongamos que X, es una variable aleatoria normal con media μ, cuyo valordesconocemos y desviación estándar σ=2. De una muestra aleatoria con reemplazamiento de 25 valores de X, obtenemos una media muestral =10. Determinar el margen de error E para un intervalo de confianza del 95% para μ y hallar el correspondiente intervalo de confianza.
Partimos por definir la siguiente ecuación, para el intervalo de confianza aleatorio con un nivel de confianza del 95%.
En estecaso utilizamos la formula de transformación Z, pero como estamos trabajando con medias, dividiremos σ, es decir:
o bien donde: E =
Ahora, el denominador para el problema sería = 2/5= 0.4
Estandarizando se obtiene:
o bien
Dado que estamos permitiendo un 5 % de error en la probabilidad, es conveniente especificar lo siguiente
Cuando buscamos el 95 % deconfianza, implica un 5 % de nivel de error, el cual se reparte 2.5 % a la derecha e izquierda, de tal forma que el error queda a los extremos de la distribución. En estos casos buscamos en la tabla de distribución normal estándar acumulada el valor z correspondiente a una probabilidad de 0.975 y encontramos que z es 1.96, Es decir 1.96 es el valor crítico de z correspondiente a una probabilidad del0.95, ya repartiendo un 2.5% a cada extremo.
Ahora bien, sustituimos en la formula
donde por lo tanto (1.96)*(0.4)= 0.784
=0.95
Con esto se tiene un confianza del 95 % de que la media μ de X es algún valor del intervalo 9.216 hasta 10.784; lo que significa que la media de toma los posibles valores . En otras palabras el 95 % de los intervalos [] contendrá a .
Ejemplo 2....
2.1 TEORIA DE ESTIMACIÓN.
La Estimación Puntual, consiste en encontrar estadísticos y sus propiedades para hacer la mejor aproximación numérica de un parámetro. Hemos visto que los estadísticos muéstrales más comunes como la media , la varianza S2 sólo dan un valor numérico posible del parámetro correspondiente μ y σ2 respectivamente, es deciry S2 son estimadores puntuales de μ y σ2. Sin embargo, en la vida real, en el proceso de toma de decisiones, es deseable contar con un rango de posibles valores que pueden tomar estos parámetros, es decir un intervalo.
Dada la información de una muestra aleatoria, La Estimación por Intervalos de parámetros, consiste en encontrar estadísticos que representen los límites inferior y superior de losposibles valores que éstos pueden tomar con un nivel de probabilidad establecido antes de sacar la muestra. Para lograr calcular dichos límites, es necesario conocer la distribución de probabilidad de los estimadores o funciones de éstos y así establecer el nivel de probabilidad, la cual es convertida en el ámbito de confianza en el momento que los estadísticos que representan los límites sonreemplazados con los valores muestrales.
2.2 INFERENCIA SOBRE μ, CUANDO σ ES CONOCIDA.
2.2.1 Intervalo de confianza para μ, cuando σ es conocida.
Considere una variable aleatoria X, con una muestra aleatoria de tamaño n, el valor de (media muestral) se puede usar para estimar μ (que puede ser desconocido) por ejemplo con un nivel de confianza de 95% de la siguiente manera:
O su equivalente:Donde el margen de error o simplemente error E, es la diferencia entre la media poblacional y la media muestral, es decir: E =
A se le llama intervalo de confianza aleatorio de μ. En la siguiente figura se muestra que algunos intervalos [] contendrá a 𝛍. Sin embargo habrá algunos intervalos que no contendrán a la verdadera μ, entonces, es conveniente especificar con una cierta confianza,cual intervalo si contiene a μ; este nivel de confianza ó 𝛄 (gamma) puede ser por ejemplo una probabilidad de 0.95, por lo tanto a la diferencia a uno (0.05) se le conoce como nivel de error o α (alfa), es decir 1-α =γ ó 1-γ=α, por ejemplo 1-0.05 =0.95 ó 1-0.95=0.05 respectivamente.
Ejemplo 1. Supongamos que X, es una variable aleatoria normal con media μ, cuyo valordesconocemos y desviación estándar σ=2. De una muestra aleatoria con reemplazamiento de 25 valores de X, obtenemos una media muestral =10. Determinar el margen de error E para un intervalo de confianza del 95% para μ y hallar el correspondiente intervalo de confianza.
Partimos por definir la siguiente ecuación, para el intervalo de confianza aleatorio con un nivel de confianza del 95%.
En estecaso utilizamos la formula de transformación Z, pero como estamos trabajando con medias, dividiremos σ, es decir:
o bien donde: E =
Ahora, el denominador para el problema sería = 2/5= 0.4
Estandarizando se obtiene:
o bien
Dado que estamos permitiendo un 5 % de error en la probabilidad, es conveniente especificar lo siguiente
Cuando buscamos el 95 % deconfianza, implica un 5 % de nivel de error, el cual se reparte 2.5 % a la derecha e izquierda, de tal forma que el error queda a los extremos de la distribución. En estos casos buscamos en la tabla de distribución normal estándar acumulada el valor z correspondiente a una probabilidad de 0.975 y encontramos que z es 1.96, Es decir 1.96 es el valor crítico de z correspondiente a una probabilidad del0.95, ya repartiendo un 2.5% a cada extremo.
Ahora bien, sustituimos en la formula
donde por lo tanto (1.96)*(0.4)= 0.784
=0.95
Con esto se tiene un confianza del 95 % de que la media μ de X es algún valor del intervalo 9.216 hasta 10.784; lo que significa que la media de toma los posibles valores . En otras palabras el 95 % de los intervalos [] contendrá a .
Ejemplo 2....
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