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Solucionario

3

Polinomios y fracciones algebráicas
ACTIVIDADES INICIALES

3.I. Para cada uno de los siguientes monomios, indica las variables, el grado y el coeficiente, y calcula el valor
numérico de los mismos para los valores indicados de las variables.
3
2
a) A(x) ‫ ؍‬؊——x 2
para x ‫ ؍‬؊——
2
3
1
2
b) B(x, y) ‫ ؍‬؊3x y para x ‫ ؍‬؊——, y ‫ ؍‬؊2
2
3
a) Es un monomio con una únicaindeterminada (x). El grado es 2, y el coeficiente, Ϫᎏᎏ
2
2
3
2 2
3 4
2
Para x ϭ Ϫᎏᎏ, el valor numérico de A es Ϫᎏᎏ Ϫᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ.
3
2
3
2 9
3

΂ ΃

b) Es un monomio con dos indeterminadas (x e y). El grado es 3, y el coeficiente, Ϫ3.

΂ ΃

1
1
Para x ϭ Ϫᎏᎏ y ϭ Ϫ2, el valor numérico de B es Ϫ3 Ϫᎏᎏ
2
2

2

3 и 2
3
(Ϫ2) ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ.
4
2

3.II. Analiza la expresión algebraica que da el valor del perímetrode la figura en función de r.
r

P ϭ 4,5r ϩ 1,5r ϩ 2,5r ϩ 2␲r ϩ 1,5r ϩ

22 ϩ 1,5
ෆ2r
͙ෆ

ϩ 1,5r ϭ (14 ϩ 2␲)r

Se trata de un monomio de una indeterminada (r), de primer grado 2 y de coeficiente 14 ϩ 2␲.

EJERCICIOS PROPUESTOS
3.1. Para cada polinomio, indica su grado y sus coeficientes, calcula su valor numérico en x ‫ ؍‬؊3 e intenta
encontrar por tanteo alguna raíz.
a) P(x) ‫ ؍‬؊2x 4 ؉ 32
b)Q(x) ‫ ؍‬x 3 ؉ x ؉ 30
a) Cuarto grado. Coeficiente de grado 4: Ϫ2; término independiente: 32. P (Ϫ3) ϭ Ϫ130 y P (Ϫ2) ϭ 0, luego Ϫ2
es una raíz.
b) Tercer grado. Coeficiente de primer y tercer grado: 1; término independiente: 30. Q(Ϫ3) ϭ 0, luego Ϫ3 es una raíz.
Q(Ϫ2) ϭ 20. No hay más raices reales.
3.2. Comprueba si los valores x ‫ ؍‬؊2, x ‫ ؍‬2, x ‫ ؍‬؊1 y x ‫ ؍‬1 son raíces del polinomio P(x) ‫؍‬x 3 ؉ 2x 2 ؊ x ؊ 2.
P(Ϫ2) ϭ Ϫ8 ϩ 8 ϩ 2 Ϫ 2 ϭ 0, luego x ϭ Ϫ2 es raíz.
P(2) ϭ 8 ϩ 8 Ϫ 2 Ϫ 2 ϭ 12, luego x ϭ 2 no es raíz.
P (Ϫ1) ϭ Ϫ1 ϩ 2 ϩ 1 Ϫ 2 ϭ 0, luego x ϭ Ϫ1 es raíz.
P (1) ϭ 1 ϩ 2 Ϫ 1 Ϫ 2 ϭ 0, luego x ϭ 1 es raíz.
3.3. Halla las raíces del polinomio Q (x) ‫ ؍‬2x 2 ؉ 5x ؊ 3.
Q (0,5) ϭ 0 ϭ Q (Ϫ3), luego ésas son las raíces.

3.4. Dados los polinomios P (x) ‫ ؍‬؊x 3 ؉ x 2 ؊ 3x ؊ 1, Q(x) ‫ ؍‬؊3x3 ؊ 6x ؉ 3 y R(x) ‫ ؍‬x 3 ؉ 2x 2, realiza las
siguientes operaciones.

b) ؊P(x) ؊ 2Q (x) ؉ 4R (x)

1
c) 2[P(x) ؊ 3Q (x)] ؉ —— R(x)
2
3P(x) ؊ 2R(x)
d) —— ؉ Q(x)
5

a) 4x 3 ϩ 5x 2 ϩ 3x Ϫ 4

33
c) ᎏᎏ x 3 ϩ 3x 2 ϩ 30x Ϫ 20
2

b) 11x 3 ϩ 7x 2 ϩ 15x Ϫ 5

x2
39x
12
d) Ϫ4x 3 Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ
5
5
5

a) P (x) ؊ Q (x) ؉ 2R (x)

3.5. Los ingresos y costes de una determinada operación comercial vienen dados porlos siguientes polinomios,
en los que x es el número de unidades producidas.
1
I(x) ‫ ؍‬؊—— x 2 ؉ 6x ؉ 50
4
a) Calcula la expresión que determina los beneficios.

1
C (x) ‫ ؍‬؊—— x 2 ؉ 2x ؉ 20
10

b) Calcula los beneficios en el caso de que los costes se reduzcan a la mitad.

΂

΃

΂

΃

1
1
3
a) B(x) ϭ I (x) Ϫ C(x) ϭ Ϫᎏᎏ x 2 ϩ 6x ϩ 50 Ϫ Ϫᎏᎏ x 2 ϩ 2x ϩ 20 ϭ Ϫᎏᎏ x 2 ϩ 4x ϩ 30
4
10
20
C(x)
1
1
1b) B(x) ϭ I (x) Ϫ ᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ x 2 ϩ 6x ϩ 50 Ϫ Ϫᎏᎏ x 2 ϩ x ϩ 10 ϭ Ϫᎏᎏ x 2 ϩ 5x ϩ 40
2
20
4
5

3.6. Realiza los siguientes productos de polinomios.
a) (2x 2 ؊ 3x ؉ 5) ؒ (؊3x ؉ 2)

b) (؊x 3 ؊ x 2 ؉ 2) ؒ (؊3x 2 ؊ 4)

a) Ϫ6x 3 ϩ 4x 2 ϩ 9x 2 Ϫ 6x Ϫ 15x ϩ 10 ϭ Ϫ6x 3 ϩ 13x 2 Ϫ 21x ϩ 10
b) 3x 5 ϩ 4x 3 Ϫ3x 4 Ϫ 4x 2 ϩ 6x 2 ϩ 8 ϭ 3x 5 Ϫ 3x 4 ϩ 4x 3 ϩ 2x 2 ϩ 8

3.7. Escribe el desarrollo del cubo de una resta (a؊ b)3.
(a Ϫ b) и (a Ϫ b)2 ϭ (a Ϫ b) и (a 2 Ϫ 2ab ϩ b 2) ϭ a 3 Ϫ 3a 2b ϩ 3b 2a Ϫ b 3

3.8. Simplifica las siguientes expresiones.
a) 2x ؊ 3x ؒ (x 2 ؊ 5) ؉ (2 ؊ x) ؒ (؊3x 2 ؉ 6)
b) 2 ؒ (3x ؊ 1)2 ؉ 5 ؒ (3x ؊ 1) ؒ (3x ؉ 1) ؊ 4x ؒ (3x ؉ 2)2
a) 2x Ϫ 3x 3 ϩ 15x Ϫ 6x 2 ϩ 12 ϩ 3x 3 Ϫ 6x ϭ Ϫ6x 2 ϩ 11x ϩ 12
b) 18x 2 ϩ 2 Ϫ 12x ϩ 45x 2 Ϫ 5 Ϫ 36x 3 Ϫ 16x Ϫ 48x 2 ϭ Ϫ36x 3 ϩ 15x 2 Ϫ 28x Ϫ 3

3.9. Extrae dos vecesfactor común en la expresión: 2xa ؊ 4xb ؊ 3ya ؉ 6yb.
2x(a Ϫ 2b) Ϫ 3y(a Ϫ 2b) ϭ (a Ϫ 2b)(2x Ϫ 3y)

3.10. Realiza las siguientes divisiones de monomios.
12x 4
a) ——2
؊3x

؊54x 2y 4z 3
b) —2—
18x y 2z 3

18x5y2z4
c) —2 —
6x y2z3

a) Ϫ4x 2

18 x5 y2 z4
c) ᎏᎏ и ᎏᎏ2 и ᎏᎏ2 и ᎏᎏ3 ϭ 3x2z
6
x
y
z

54 x 2 y 4 z 3
b) Ϫᎏᎏ и ᎏᎏ2 и ᎏᎏ2 и ᎏᎏ3 ϭ Ϫ3y 2
18 x
y
z

4a3
d) ᎏ
ᎏ
b3c2d

8a 3d 2
—
d) —
2b 3c 2d 3...