un dia gris


FUNDACION UNIVERSIDAD DE AMERICA
INTRODUCCION AL ANALISIS MATEMATICO

TALLER Nº 1

ECUACIONES LINEALES, DESIGUALDADES, INECUACIONES LINEALES Y VALOR ABSOLUTO

OBJETIVOS
Al término del presente taller, el estudiante estará en capacidad de:

1. Resolver ecuaciones lineales aplicando todas las estrategias algebraicas posibles.
2. Plantear y resolver problemas de aplicacion de lasecuaciones lineales.
3. Aplicar las propiedades de las desigualdades y del valor absoluto para resolver inecuaciones..

SÍNTESIS DEL TEMA
ECUACIONES
Una ecuación lineal tiene la forma: , donde a y b son constantes reales y x es una variable.

El "Conjunto de Sustitución" de una variable se define como el conjunto de constantes que se permiten que sustituyan a la variable, y el "ConjuntoSolución" de una ecuación se define como el conjunto de elementos del conjunto de sustitución que hacen que la ecuación sea una proposición verdadera. Cualquier elemento del conjunto solución se llama
"Solución o raíz" de la ecuación.

Resolver una ecuación es encontrar el conjunto solución.

DESIGUALDADES
Lo fundamental de las desigualdades es reconocer y saber aplicar sus propiedades, esdecir, tener muy claro que :


INECUACIONES
El buen uso de las propiedades de las desigualdades permite resolver los diferentes tipos de inecuaciones algebráicas. Recuerde:


La base para resolver bien cualquiera de los tipos de inecuaciones antes presentados es sin lugar a dudas, la factorización y el correcto estudio de los signos

.
EJEMPLOS
ECUACIONES
1. Cuando se va a resolver laecuación , hay que encontrar su conjunto solución, para ello, simplemente se "despeja x", usando propiedades de las igualdades, así:
a) lo que equivale a ; se sumó -3 a cada lado
b) , se multiplicó por 2 a cada lado.

2. Resolver:

Si se puede encontrar un número que sea exactamente divisible entre cada denominador, entonces se puede usar la propiedad multiplicativa (si a = bentonces c*a = c*b, c0) para suprimir fracciones de la ecuación. El menor entero positivo que es divisible exactamente entre cada elemento de un conjunto de enteros positivos se llama Mínimo Común Múltiplo (M.C.M) del conjunto.

En este caso, el M.C.M. de 3, 4 y 2 es 12; por lo tanto:
a) , se multiplican a ambos miembros por 12
b) ; estos dos pasos por lo regular se puede realizarmentalmente
c) ;
d) ; aquí, la ecuación ya no tiene denominadores, luego el conjunto solución es: {2}, para la comprobación se reemplaza x = 2 en la ecuación.

3. Resolver: al escribir de nuevo el denominador como , se ve que el MCD de las tres expresiones racionales es .

Los valores de x que hacen cero al MCD , son 2 y -3, de modo que tales números no pueden ser soluciones de laecuación.

Al multiplicar cada término de la ecuación por el MCD y simplificar, se obtiene lo siguiente:


donde se cancelan los factores iguales

se multiplican los factores, luego variables en un miembro y términos independientes en otro.


4. Resolver:
Para resolver esta ecuación radical, se eleva ambos miembros a la misma potencia para eliminar el radical:se deja el radical en un miembro.
elevando al cuadrado ambos miembros.
resolviendo el segundo miembro
, transponiendo y reduciendo, simplificando

DESIGUALDADES
Usando las propiedades de las desigualdades se puede probar, por ejemplo, que:
Para ello, de debe partir de lo que se conoce, es decir: Si entonces por la propiedad i) , esto es, (1).
De la misma forma, por la mismapropiedad i) , esto es, con lo que (2)
De (1) y (2) se puede concluir que
INECUACIONES
Para resolver una inecuación algebráica es fundamental el uso de la factorización y de las propiedades de las desigualdades (resumidas en una tabla de signos).
Resolver la inecuación:
Al factorizar se obtiene:
Al aplicar la tabla de signos se determina que:

Y con esto, se concluye que el...