Una Demostración Del Isomorfismo De Los Complejos Sin El Cero Y C*

´ UNA DEMOSTRACION DEL ISOMORFISMO ENTRE LOS COMPLEJOS SIN EL CERO Y CIRCULO DE RADIO UNO C∗ ∼ S 1 =
´ ODRI JOHANNA CUBILLOS BARRAGAN

` VI simposio nororiental de matematicas Universidad Industrial de Santander Bucaramanga, Colombia

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´ Presentacion
El poderestablecer semejanzas e igualdades entre diferentes objetos es un punto fundamental que muchas veces resulta de suma dificultad. Poder establecer o al menos mostrar que dos cosas “no son lo mismo pero son igual” es lo que se conoce como isomorfismo. En particular se mostrar´ que los dos grupos a 1 y C∗ son isomorfos sin usar el multiplicativos o abelianos S Teorema fundamental de grupos divisibles. Paraconstruir esta demostraci`n se usaran algunos conceptos de: o Teor´ de conjuntos ıa Uno de los postulados del axioma de Elecci`n, el Lema de o Zorn Teor´ de grupos abelianos ıa

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Preconceptos
Definici´n o

S 1 = {z ∈ C | |z| = 1} = {e iθ ∈ C | θ ∈ [0, 2π]}.

(1)Definici´n o Sea G , ∗ y H, ⊕ grupos, una funci´n f : G → H es un o isomorfismo si es biyectiva y adem´s cumple que a ∀g1 , g2 ∈ G f (g1 ∗ g2 ) = f (g1 ) ⊕ f (g2 ) Se dice entonces que los dos grupos son isomorfos. (2)

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Teorema En el homomorfismo f : G → H el n´cleo de f es elsubgrupo K u de G . Dos elementos de G tienen la misma imagen en H, si y s´lo o si pertenecen a una misma clase lateral de K . Teorema Dado un grupo G y un subgrupo K , entonces si H = G /K hay un homomorfismo G → H cuyo n´cleo es K . Este homomorfismo esta u dado por g → Kg y se llama homomorfismo can´nico. o Teorema Si f : G → K es un homomorfismo sobreyectivo y T el n´cleo de u ′ entonces el f ,entonces K es isomorfo a G /T = H. Si f (x) = x isomorfismo entre H y K env´ a Tx en x ′ . ıa

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Axioma Axioma de Elecci´n. A toda colecci´n C no vac´ de conjuntos o o ıa no vac´ corresponde al menos una funci´n e de dominio C tal ıos, o que para todo A de C, e(A) ∈ A. (La funci´ne se le llama funci´n o o de elecci´n). o Lema Lema de Zorn. Si X es un conjunto parcialmente ordenado por la relaci´n , tal que toda cadena de X es acotada superiormente en o X , entonces X posee al menos un elemento maximal.

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Teorema Sea G , A y B grupos abelianos. Si A× B ∼ G entonces existen = ′ y B ′ de G isomorfos a A y B respecitvamente, tales subgrupos A que A′ ∩ B ′ = {1} y A′ .B ′ = G . Definici´n o Sea G un grupo y N ≤ G , G /N es el grupo cuyos elementos son clases laterales de N en G y la operaci´n es el producto de clases o de N en G .

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´ Construcion del isomorfismo
El isomorfismo se presenta a partir de la relaci´n que env´ a re iθ o ıa en el par (log r , θ/2π + Z) con la adici´n como operaci´n. Esta o o relaci´n establece un isomorfismo entre C∗ ≈ R × R/Z. o Teorema Si G es un grupo y N un subgrupo de G , entones G /N es tambi´n e un grupo. Se le llama grupo cociente o grupo factor de G sobre N. El grupo cocienteR/Z. Esta formado por las clases laterales de Z en R. As´ podemos decir que el grupo R/Z ∼ [0, 1) d´nde la ı o = operaci´n en [0, 1) es la suma “circular” que notamos ⊕; si o r , s ∈ [0, 1) definimos: r ⊕s = r +s r +s −1 si r + s < 1 si r + s ≥ 1.

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Se revisar´ que S 1 ≈...